行列の指数 – 定義

導入

数学では、行列の指数は、指数と同様の正方行列の関数です。抽象的には、行列上のリー代数とそれに対応するリー群の間のギャップを埋めるものです。

意味

n =1 の場合、古典的な指数関数の定義に戻ります。

行列の指数の計算

行列指数の計算は、先験的に簡単な問題ではありません。ただし、特定の場合、特に対角行列や零ポテント行列の場合には、何の困難も生じません。この発言がなされた後は、前の 2 つのケースを参照して一般的なケースを扱うことができます。

対角行列

A が対角行列の場合、次のようになります。

$$ {A=\begin{bmatrix} a_1 & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & a_2 & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & a_n \end{bmatrix}, } $$

次に、その指数は、主対角の各項の指数を計算することによって取得されます。

$$ {e^A=\begin{bmatrix} e^{a_1} & 0 & \ldots & 0 \\ 0 & e^{a_2} & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \ldots & e^{a_n} \end{bmatrix}. } $$

このプロパティにより、対角化可能な行列の指数を簡単に計算できます。 A = UDU ⁻¹で、 Dが対角線である場合、 e ^A = Moe ^D U ^{−1 と}なります。

虚無能行列

整数qに対してN ^q = 0 の場合、行列N は零になります。この場合、行列e ^Nの指数は、その級数展開から直接計算されます。これは、これには有限数の項しか含まれないためです。

$$ {e^N = I + N + \frac{N^2}{2!} + \frac{N^3}{3!} + \cdots + \frac{N^{q-1}}{(q-1)!}} $$

一般化

行列の最小多項式の場合

$$ {X = A + N \,} $$

または

• A は対角化可能です
• N は無能です
• AさんはNさんと一緒に通勤しています。

これが ダンフォード分解です。

それ以降、 Xの指数の計算は前の 2 つのケースに減らされます。

e ^X = e ^{A + N} = e ^A e ^N

複雑な場合には、ジョルダン削減も使用できます。

J をXのジョルダン形式とし、 P を通過行列とします。それで、

^e

以来

$$ {J=J_{a_1}(\lambda_1)\oplus J_{a_2}(\lambda_2)\oplus\cdots\oplus J_{a_n}(\lambda_n),} $$

$$ {e^{J}\,} $$	$$ {= \exp \big( J_{a_1}(\lambda_1)\oplus J_{a_2}(\lambda_2)\oplus\cdots\oplus J_{a_n}(\lambda_n) \big)} $$
$$ {= \exp \big( J_{a_1}(\lambda_1) \big) \oplus \exp \big( J_{a_2}(\lambda_2) \big) \oplus\cdots\oplus \exp \big( J_{a_k}(\lambda_k) \big).} $$

したがって、ジョルダン ブロックの指数を計算する方法を知っていれば十分です。全員がフォームに入っています

$$ {J_{a}(\lambda) = \lambda I + N \,} $$

ここで、 N は特殊なゼロポテント行列です。ブロックの指数は次の式で与えられます。

$$ {e^{\lambda I + N} = e^{\lambda}e^N. \,} $$

計算例

マトリックスにしてみましょう

$$ {B=\begin{bmatrix} 21 & 17 & 6 \\ -5 & -1 & -6 \\ 4 & 4 & 16 \end{bmatrix}} $$

ジョーダンの形をした人は誰ですか

$$ {J=\begin{bmatrix} 16 & 1 & 0 \\ 0 & 16 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}} $$

そして遷移行列

$$ {P=\begin{bmatrix} -1 & 1 & {5 \over 8} \\ 1 & -1 & -{1\over 8} \\ 0 & 2 & 0 \end{bmatrix}} $$

今、

$$ {J=J_2(16)\oplus J_1(4)} $$

そして

eB​	= P e JP − 1
$$ {= P (e^{J_2(16)} \oplus e^{J_1(4)} ) P^{-1}.} $$

それで、

$$ { \exp \left( 16I+\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \right) = e^{16}\left(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + {1 \over 2!}\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}+\cdots\right)=\begin{bmatrix} e^{16} & e^{16} \\ 0 & e^{16} \end{bmatrix}} $$

1×1 行列の指数関数は自明であり、 e ^{J ₁ (4)} = e ⁴であるため、

$$ {e^B = P\begin{bmatrix} e^{16} & e^{16} & 0 \\ 0 & e^{16} & 0 \\ 0 & 0 & e^4 \end{bmatrix}P^{-1} = {1\over 4}\begin{bmatrix} 5e^4-e^{16} & 5e^4 – 5 e^{16} & -2e^{16} \\ -e^4 + e^{16} & -e^4 + 5e^{16} & 2e^{16} \\ 0 & 0 & 4e^{16} \end{bmatrix}} $$

プロパティ

XとY を2 つの複素数n × n行列、 aとb を2 つの複素数としましょう。単位行列はIで示され、ヌル行列は 0 で示されます。行列の指数関数には次の特性があります。

• e ⁰ = I
• e ^{a X} e ^{b X} = e ^{( a + b )}
• ^え
• X Y = Y Xの場合、 e ^X e ^Y = e ^{X + Y}
• Yが可逆行列の場合、
  $$ {e^{YXY^{-1}} = Ye^XY^{-1}} $$
  。
• $$ {\det\left(e^X\right) = e^{\mbox{tr}(X)}} $$
• exp( X ^T ) = ( e ^X ) ^T 、ここでX ^{T は}Xの転置を表します。 Xが対称行列の場合、 e ^Xも対称であり、 Xが非対称行列の場合、 e ^{X は}直交行列ということになります。
• exp( X ^* ) = ( eX ) ^* 、ここでX ^{* は}X^の転置行列の共役を意味します。したがって、 Xが^{エルミート}行列^の場合、 e

線形微分方程式

行列指数関数の最初の応用の 1 つは、常微分方程式の解決です。実際、以下の方程式(1) から、次の解が得られると推測されます。

$$ { \frac{d}{dt} y(t) = Ay(t), \quad y(0) = y_0, } $$

ここで、 A は行列であり、次の式で与えられます。

$$ { y(t) = e^{At} y_0. \, } $$

行列の指数関数は、不均一方程式を解くためにも使用できます。

$$ { \frac{d}{dt} y(t) = Ay(t) + z(t), \quad y(0) = y_0. } $$

例については、ここを参照してください。

次の形式の微分方程式には明示的な解はありません。

$$ { \frac{d}{dt} y(t) = A(t) \, y(t), \quad y(0) = y_0, } $$

ここで、 A は定数ではありませんが、マグナス級数は無限和として解を与えます。

合計の指数

恒等式e ^{x + y} = e ^x e ^yがすべての複素数xおよびyに対して有効であることがわかっています。実際、これが可換な 2 つの行列にも有効であることを示すことができます。言い換えれば、行列XとY が可換である場合、

e ^{X + Y} = e ^X e ^Y

ただし、そうでない場合、等価性は必ずしも真ではありません。この場合、 Baker-Campbell- ^{Hausdorff の}公式はeの^{式を与えます}。より正確には、この式は、 X 、 Yおよびそれらの括弧のみを含む数列によってe ^X e ^Yの対数を与えます。最初の用語は次のとおりです。

$$ {\begin{align}\log(\exp(X)\exp(Y))&=X+Y+\frac{1}{2}[X,Y]+ \frac{1}{12}([X,[X,Y]]+[Y,[Y,X]])+\frac{1}{24}[X,[Y,[X,Y]]]\\ &\quad – \frac{1}{720}([[[[X,Y],Y],Y],Y] +[[[[Y,X],X],X],X]) \\ &\quad +\frac{1}{360}([[[[X,Y],Y],Y],X]+[[[[Y,X],X],X],Y])\\ &\quad + \frac{1}{120}([[[[Y,X],Y],X],Y] +[[[[X,Y],X],Y],X]) +\dots\end{align}} $$

指数関数的な応用

行列の指数は常に可逆です。 eXの逆数はe ^{− X}で与えられます^。したがって、この関数は次のようなアプリケーションを提供します。

$$ {\exp \colon M_n(\mathbb C) \to \mbox{GL}_n(\mathbb C)} $$

n × n行列の集合から一般線形群、つまりすべての可逆行列の群へ。行列Xの対数を、 e ^Y = Xとなるような行列Yと呼びます。 Xの対数は一般に一意ではありません。

2 つの行列XとYについては、次のようになります。

$$ { \| e^{X+Y} – e^X \| \le \|Y\| e^{\|X\|} e^{\|Y\|}, } $$

ここで || · ||は任意の行列ノルムを表します。したがって、指数関数マップはM _n ( C ) の任意のコンパクトなサブセット上で連続的かつリプシッツ分布であることがわかります。

全単射

$$ {t \mapsto e^{tX}, \qquad t \in \mathbb R} $$

クラスカーブを定義します

$$ {e^{tX}e^{sX} = e^{(t+s)X}.\,} $$

点tにおけるこの曲線の導関数は次のように与えられます。

$$ {\frac{d}{dt}e^{tX} = Xe^{tX}. \qquad (1)} $$

点t = 0 での導関数は行列Xであり、これはX がこの 1 パラメーターのサブグループを生成することを意味します。

より一般的には、

$$ {\frac{d}{dt}e^{X(t)} = \int_0^1 e^{(1-\alpha) X(t)} \frac{dX(t)}{dt} e^{\alpha X(t)}d\alpha } $$