非対称行列について詳しく解説

導入

数学、より正確には線形代数では、非対称行列は転置の反対側の正方行列です。

意味

任意のリングに係数を持つ正方行列A は、その転置がその反対のものと等しい場合、非対称であると言われます。つまり、次の方程式を満たす場合:

^t A = – A

または、次の場合は、 A = ( a _i,j ) の形式で係数を使用して再度記述します。

すべてのiとjについて、 a _i,j = – a _j,i

プロパティ

• マトリックス
  $$ {A\in M_n(K)} $$
  は、それが表す双一次形式が反対称である場合にのみ反対称です。つまり、( K ⁿの要素を列行列として指定した場合):

$$ {\forall X,Y\in K^n,\ ^{\operatorname t}\!Y\ A\ X=-^{\operatorname t}\!X\ A\ Y.} $$

• 同等の特性 ( K は2 とは異なる特性を持つと想定されています) は、この形式が交互であることです。つまり、次のようになります。

• 非対称行列の主対角のエントリはすべてゼロです。実際、 a _i,i = – a _i,iである必要があり、 Kでは、その反対に等しい唯一の数は0 です。したがって、反対称行列の痕跡はゼロです。

• サイズnの非対称行列の行列式は、 nが奇数の場合は 0 ((-1) ⁿによる積に等しいため) 0 で、 nが偶数の場合はパフィアンの2 乗になります。

• 対称行列の空間と非対称行列の空間は、正方行列の空間に補足されます。実際、正方行列は次のように一意に分解されます。

$$ { A = \frac{A+^{\operatorname t}\!A}2+\frac{A-^{\operatorname t}\!A}2} $$

。

• 係数の場が実数の場である場合、正方行列の空間に正準スカラー積を与えれば、これら 2 つの空間は直交します。その式の 1 つは正確には次のとおりです。

$$ { (A,B) \mapsto Tr(^{\operatorname t}\!A.B) } $$

• ( n , n ) 型の非対称行列は、次元( n ² – n )/2 のベクトル空間を形成します。正統的な基礎は家族です
  $$ {\left(A_{ij}\right)_{1\leq i < j \leq n}} $$
  i 番目の行とj番目の列に1 を持ち、 j番目の行とi列に1 を引いた行列A _{i j}の行列。

• 実際の場合:

このベクトル空間は、直交群O( n ) への接空間です。この意味で、非対称行列を「微小回転」に例えることができます。

実数の非対称行列は複素体上で対角化でき、その固有値は純粋な虚数です。実際、 A が実反対称である場合、 i Aはエルミート、つまり自己共役です。

実際、( n , n ) 型の非対称行列は、リー括弧を使用してリー代数を形成します。

$$ {[A,B] = AB – BA\,} $$

そしてそれはリー群O( n ) に関連付けられたリー代数です。

行列Gは直交し、行列式が 1 に等しい、つまり、次のような非対称行列Aが存在する場合に限り、単位行列が配置される直交群の連結成分の要素になります。

$$ {G=\exp(A)=\sum_{n=0}^\infty \frac{A^n}{n!}.} $$