シュクロフスキー効果について詳しく解説

P _{0 を}パルサー信号の周期とする。座標系の原点に位置する観測者によって測定された見かけの周期P は次のように記述されます。

$$ {P (t) = P_0 \left(1 + \frac{{\mathbf{x}} \cdot {\mathbf{v}}}{||{\mathbf{x}}|| c} \right)} $$

。

点で示されるこの量の導関数は、次のように直ちに計算されます。

$$ {\dot P_S = P_0 \left(\frac{{\mathbf{x}} \cdot {\mathbf{v}}}{||{\mathbf{x}}|| c} \right)^.} $$

、

開発することで得られる

$$ {\dot P_S = P_0 \left(\frac{\dot {\mathbf{x}} \cdot {\mathbf{v}}}{||{\mathbf{x}}|| c} + \frac{{\mathbf{x}} \cdot \dot {\mathbf{v}}}{||{\mathbf{x}}|| c} + \frac{{\mathbf{x}} \cdot {\mathbf{v}}}{c} \left(||{\mathbf{x}}||^{-1}\right)^.\right)} $$

、

つまり

$$ {\dot P_S = P_0 \left(\frac{{\mathbf{v}} \cdot {\mathbf{v}}}{||{\mathbf{x}}|| c} + \frac{{\mathbf{x}} \cdot {\mathbf{a}}}{||{\mathbf{x}}|| c} – \frac{{\mathbf{x}} \cdot {\mathbf{v}}}{||{\mathbf{x}}||^2 c} \left(||{\mathbf{x}}||\right)^.\right)} $$

、

a はパルサーの加速度です。インデックスでメモする

$$ {\dot P_S = P_0 \left(\frac{v^2}{R c} + \frac{a_\parallel}{c} – \frac{v_\parallel^2}{R c} \right)} $$

、

量からして

パルサーが等直線運動している場合、その加速度はゼロであり、そのままになります。

$$ {\dot P_S = P_0 \frac{v_\perp^2}{R c}} $$

。

パルサーの速度が光の速度に比べて小さいと仮定すると、周期P ( t ) をP0_で近似できるため、最終的には

$$ {\frac{\dot P_S}{P} = \frac{v_\perp^2}{R c}} $$

。

パルサーが加速を受ける場合、導出の際にaの項を考慮する必要があります。加速度の半径方向の部分は、

$$ {a_\parallel = \ddot R – \frac{v_\perp^2}{R}} $$

、

そこから一般式を導き出します

$$ {\frac{\dot P_S}{P} = \frac{\ddot R}{c}} $$

。

加速度がゼロの場合でも、この式は成り立ちます。実際、パルサーの速度が一定であるという事実は、観測者からの距離が時間とともに直線的に増加することを意味するわけではありません。一定の速度v を持つと仮定したパルサーの最小接近距離をR _mとすると、観測者までの距離R は次のように発展します。

$$ {R = \sqrt{R_m^2 + v^2 t^2}} $$

。