線と平面のメートル特性 – 定義

導入

ユークリッド幾何学、つまり、距離とスカラー積が与えられる平面と空間では、線と平面には計量特性があり、点とベクトル (法線) を使用して特徴付けることができます。また、特定の点からそれらを分離する距離を計算したり、2 つの直線または 2 つの平面を分離する距離を計算したりすることもできます。 2 本の直線または 2 つの平面によって形成される角度を計算することもできます。

この記事では、すべての座標が表現される正規直交基準フレームを平面または空間に提供しました。平面 y のすべての線にはux + vy + h = 0 というタイプの方程式があり、 ( u , v ) は (0, 0) とは異なり、空間のすべての平面にはux + vy + wz + という形式の方程式があります。 h = 0 ( u, v, w ) は (0, 0, 0) とは異なります

ユークリッド平面上の線

線に対する法線ベクトル

M ( x , y )を直線 D 上の点とし、正規直交座標系の方程式は次のように与えられます。

$$ {(1) \qquad ux + vy + h = 0\,} $$

M ₀ ( x ₀ , y ₀ ) D の特定の点、次のようになります。

$$ {(2) \qquad ux_0 + vy_0 + h = 0\,} $$

(1) から (2) を引くと、次のようになります。

$$ {u(x-x_0) + v(y-y_0)= 0\,} $$

注目する

、座標ベクトル ( u, v ) として、(1) を次のように表します。

$$ {\overrightarrow{N} . \overrightarrow{M_0M}=0\,} $$

したがって、方程式u x + v y + h = 0の直線は​​ベクトルに直交します。

。ベクトル線Dに垂直なベクトルと呼ばれます

点を通り、指定された非ゼロベクトルに直交する線

点M ( x , y )とベクトルを考えます。

ゼロではありません。点 M は、 M ₀ ( x ₀ , y ₀ )を通り、 に直交する直線 D に属します。 、次の場合に限ります。

$$ {\overrightarrow{N} . \overrightarrow{M_0M}=0} $$

M ₀ ( x ₀ , y ₀ )を通り、それに直交する直線 D

したがって、次の方程式があります::

$$ {u(x-x_0) + v(y-y_0)= 0\,} $$

点M ( x , y )から方程式u x + v y + h = 0の直線までの代数的距離

H をM ( x , y )の D への射影とします。

Dに直交する。

D に垂直でM を通る直線がベクトルの方向に向いている

、M と D の間の代数的距離が次の式で与えられることを示します。

$$ {d_a(H,M) = \frac{ux+vy+h}\sqrt{u^2 + v^2}} $$

絶対値で:

$$ {\|\overrightarrow{HM}\| = \frac{|ux+vy+h|}\sqrt{u^2 + v^2}} $$

直線と坂道

v がゼロ以外の場合、方程式u x + v y + h = 0を含む線 D には、 m x + b = yの形式の方程式が含まれます。

$$ {m= -\frac{u}{v}\,} $$

そして

$$ {b= -\frac{h}{v}\,} $$

線の傾きは実際のものです

$$ {m = \tan(\alpha)\,} $$

角度 α は、横軸と線 D の間の角度を表します。

直線の正規方程式

ベンチマークでは

、注意しましょう線 D に垂直な、O から D の方向の単位ベクトル、値次に角度を表します 。一方、参照フレームの原点Oと線 D の間の距離p に注目します。

式 (1) は次のように書かれます。

$$ {x\cos\varphi+y\sin\varphi-p=0} $$

2本の線の角度

D と D’ を方程式の 2 つの直線とする

$$ {(D): ux+vy+h = 0\,} $$

$$ {(D’): u’x+v’y+h’ = 0\,} $$

2 本の線によって形成される角度は、その接線によってわかります。

$$ {\tan(D,D’)= \tan(\overrightarrow{N},\overrightarrow{N’}) = \frac{uv’-u’v}{uu’+vv’}} $$

ユークリッド空間の平面

平面に直交するベクトル

M ( x , y , z ) を平面 P 上の点とし、その正規直交座標系の方程式は次の式で与えられます。

$$ {(1bis) \qquad ux+vy+wz+h=0} $$

M ₀ ( x ₀ , y ₀ , z ₀ )については、P の特定の点を取得します。

$$ {(2bis) \qquad ux_0+vy_0+wz_0+h = 0} $$

(1bis) から (2bis) を引くと、次が得られます。

$$ {u(x-x_0)+v(y-y_0)+w(z-z_0) = 0\,} $$

注目する

、座標ベクトル ( u,, v, w ) は、(1bis) を次のように表します。

$$ {\overrightarrow{N} . \overrightarrow{M_0M}=0} $$

したがって、方程式u x + v y + w z + h = 0を持つ平面 P はベクトルに直交します。

このベクトルを平面 P に垂直なベクトルと呼びます。

点を通り、指定された非ゼロベクトルに直交する平面

それともポイントか

そしてベクトルゼロではありません。点 M は平面 P に属しており、 そして直交する 、次の場合に限ります。

$$ {\overrightarrow{N} . \overrightarrow{M_0M}=0\,} $$

M ₀ ( x ₀ , y ₀ , z ₀ )を通り、それに直交する平面 P

したがって、次の方程式があります::

$$ {u(x-x_0) + v(y-y_0) + w(z-z_0)= 0\,} $$

点M ( x , y , z )から平面 P までの代数的距離 (式u x + v y + w z + h = 0)

H をM ( x , y , z )の P への射影とします。

Pに直交する。

P に垂直で M を通る線がベクトルの方向に向いている

、M と P の間の代数的距離が次の式で与えられることを示します。

$$ {d_a(H,M) = \frac{ux+vy+wz+h}\sqrt{u^2 + v^2+w^2}} $$

絶対値:

$$ {\|\overrightarrow{HM}\| = \frac{|ux+vy+wz+h|}\sqrt{u^2 + v^2+w^2}} $$

2 つの平面の角度

(P) と (P’) を 2 つの方程式平面とします。

$$ {(P) : ux+vy+wz+h = 0\,} $$

$$ {(P’) : u’x+v’y+w’z+h’ = 0\,} $$

幾何学的な角度( P 、 P ‘)は、法線ベクトルの角度を使用して決定されます。

$$ {\cos(P,P’) = |\cos(\overrightarrow{N},\overrightarrow{N’})|=\frac{|uu’+vv’+ww’|}{\sqrt{u^2+v^2+w^2}\times\sqrt{u’^2+v’^2+w’^2}}} $$

垂直面

法線ベクトルが次の場合、平面 (P) と (P’) は垂直になります。

そしては直交しています。つまり、

$$ {uu’+vv’+ww’ = 0\,} $$

計画と行列式の方程式

1 つの点と 2 つの非同一線上のベクトルによって定義される平面

点M ₀ ( x ₀ , y ₀ , z ₀ )と 2 つのベクトルを考えます。

そして非共線的。点 M (x, y, z) は、 M ₀ ( x ₀ , y ₀ , z ₀ )とその方向を通る平面 P に属します。 そして次のような 2 つの実数 λ と μ が存在する場合に限り、 。この等式は次のことを表しますは同一平面上にあります。

これら 3 つのベクトルの混合積を行列式の形式で表すと、次のようになります。

$$ { \det(\overrightarrow{MM_0},\vec V_1(a_1,b_1,c_1),\vec V_2(a_2,b_2,c_2))=0 } $$

その方程式は次のとおりです。

$$ {\begin{vmatrix} x-x_0 & a_1 &a_2\\ y-y_0 & b_1 &b_2\\ z-z_0 & c_1 &c_2 \end{vmatrix} = (b_1c_2 – c_1b_2)(x-x_0) + (c_1a_2 – a_1c_2)(y-y_0) + (a_1b_2 – b_1a_2)(z-z_0) = 0 } $$

これはu x + v y + w z + h = 0 の形式で書くことができます。

2 つの点とベクトルによって定義される平面

2 つの点M ₁ ( x ₁ , y ₁ , z ₁ )、 M ₂ ( x ₂ , y ₂ , z ₂ )とベクトルを考えます。

と非共線的 。

点 M は、 M ₁ ( x ₁ , y ₁ , z ₁ )、 M ₂ ( x ₂ , y ₂ , z ₂ )および方向を通る平面に属します。

3 つのベクトルが存在する場合に限り、次のとおりです。 は同一平面上にあるため、次のようになります。

$$ { \det(\overrightarrow{M_1M},\overrightarrow{M_2M_1},\vec V)=0 } $$

その方程式は次のとおりです。

$$ {\begin{vmatrix} x-x_1 & x_2-x_1 & a\\ y-y_1 & y_2-y_1 & b\\ z-z_1 & z_2-z_1 & c \end{vmatrix} = 0 } $$

3 つの位置が揃っていない点によって定義される平面

M ₁ ( x ₁ , y ₁ , z ₁ )、 M ₂ ( x ₂ , y ₂ , z ₂ )、 M ₃ ( x ₃ , y ₃ , z ₃ ) という位置合わせされていない点を 3 つとしましょう。

上記と類推すると、これら 3 点を通る平面の方程式は次のようになります。

$$ {\begin{vmatrix} x-x_1 & x_2-x_1 & x_3-x_2\\ y-y_1 & y_2-y_1 & y_3-y_2\\ z-z_1 & z_2-z_1 & z_3-z_2 \end{vmatrix} = 0 } $$