正の行列 – 定義

導入

線形代数では、正の行列の概念は、正またはゼロの実数の概念に似ています。

正定行列は可逆正行列です。

正の実対称行列

M を次数nの実対称行列とする。次の 2 つの同等の特性のいずれかを満たしている場合、それは正であると言われます。

例

• f を、定義されたn 個の実変数とクラス C ²の実関数とします。
  $$ {\mathbb{R}^n} $$
  。 f が極小値に達する任意の点で、そのヘッセ行列は正になります (極小点の次数 2 の必要条件)。
• ランダムなベクトルが与えられた場合
  $$ {(T_1,\dots, T_n)} $$
  の値を持つ
  $$ {\mathbb{R}^n} $$
  各成分が分散を許容する場合、その共分散行列を定義します。

$$ {\Gamma = \Big(\mathrm{cov}(T_i, T_j) \Big) \in \mathcal{S}_n(\mathbb{R})} $$

これはポジティブなことです。実際、どの列行列でも

$$ {\ \textbf{x}} $$

n 個の実数要素が記載されている

$$ {x_1,\dots, x_n} $$

:

$$ {\textbf{x}^{T} \Gamma\, \textbf{x} = \mathrm{Var}(x_1\, T_1 +\cdots + x_n\, T_n) \geq 0} $$

次の唯一の線形結合の場合に限り、正定値です。

$$ {T_1,\dots, T_n} $$

確かなのは、係数がすべてゼロであるものです。

プロパティ

• 実数行列Aの場合、行列A ^T。 A は正の対称行列です。さらに、 A が可逆正方行列の場合、 A ^T 。 A は正定値です。
• すべての正対称実行列には、一意の正対称実平方根が認められます。より正式には:

$$ { \forall S\in S_n^+(\R),\ \exist ! T\in S_n^+(\R),\ T^2=S} $$

。

この結果はn乗根に一般化されます。

正のエルミート行列

前述のプロパティと定義を複雑なエルミート行列に拡張します。

M を次数nのエルミート行列としましょう。次の 2 つの同等の特性のいずれかを満たしている場合、それは正であると言われます。