導入
ユークリッド原論の第 X 巻は、原論を構成する 13 冊の本の中で最大のものです。その目的は、無理数が形成された複雑さに応じて無理数を分類することです。使用される演算は、和、差、および他の 2 つの数量間の幾何平均、つまり平方根の使用です。
それには以下が含まれます:
- 11 の定義
- 117件の提案
定義
最初の 2 つの定義は、通約可能/通約不可能の概念を対照させています。定義 1 は、同量量とは同じ尺度で測定される量であると述べています。言い換えれば、 aとb がcの整数倍であるような共通測度と呼ばれる量c が存在する場合、 aとb は可比較可能です。量が直線である場合、それらの長さは可測であるとも言えます。このような量の扱いは、第 7 巻で開発された整数の扱いとほとんど変わりません。桁違いの量の例としては、正方形の対角線と辺が挙げられます。今日私たちはこう言うでしょう
ただし、前記対角線上に作られる正方形は、前記辺上に作られる正方形の２倍である。したがって、これら 2 つの正方形は通約可能です。したがって、定義 3 と 4 は、力が同等か、力が計り知れないという概念に反対します。定義 3 は、直線の正方形を同じ面で測定した場合、直線の累乗が等価であると述べています。電力の計り知れない大きさの例は、正五角形の辺と、この五角形に外接する円の半径によって示されます。この半径の長さが 1 の場合、この五角形の辺の長さは次のようになります。
与えられた基準線と長さまたは力が同等の線は、ここで使用されているギリシャ語からのラテン語訳またはペイラールのフランス語訳では有理的(def.6) として認定されます。この用語の選択は残念です。なぜなら、現在の意味での合理的とは必ずしもラインの要素の長さが
曲面に関しては、基準線の二乗と可換な曲面を有理曲面（定義 8 および 9）と呼び、共約不可能な曲面を無理数曲面（定義 10）と呼びます。
参考文献
- ユークリッドの著作、F. ペイラール訳、パリ(1819 年)、ジャン・イタールによる新版印刷、アルベール・ブランシャール編 (1993 年)
- Euclid、 The Elements 、Bernard Vitrac による翻訳、コメント、メモ
提案
概念をより理解しやすくするために、現代の代数表記を採用することがありますが、もちろん、これは決してユークリッドの著作ではありません。提案では次のトピックが取り上げられています。
- アルキメデスの公理の応用。提案 1 は、提案されている 2 つの等しくない量について、大きい方から半分より大きい部分を引くと、残りから半分より大きい部分を引くと、常に同じものを作ると、残りの量が残ると述べています。提案されたサイズの最小値よりも小さい特定のサイズ。この特性は、第 XII 巻では消尽法によって面積や体積を比較するために使用されており、アルキメデスの作品でも広く使用されています。
- 通約不可能性とユークリッドのアルゴリズムの特徴付け。提案 2 は、2 つの等しくない量が提案されており、小さい方が常に大きい方から減算され、余りが前の余りを測定しない場合、これらの大きさは比較不能になると述べています。この命題は、通約不可能な量に対するユークリッドのアルゴリズムの適用が終了しないという事実によって、それらの量を特徴づけます。契約では、量が比較可能な場合、同じアルゴリズムが終了し、共通の測定値が得られます (提案 3)。 3 つの量の共通の尺度を見つけるために反復できます (prop.4)。
- 通約可能性の特性。提案 5 から 9 は、可換量の理由と整数間の理由の間の関係を確立します。提案 10、15、16、17 は、さまざまな比率内での、または加算による整合性の両立性を探ります。 prop.11 では、長さや電力が計り知れないほどの線を構築する方法を説明します。提案 12 から 14 は、共約可能性関係の推移性を証明します。
- さまざまな数量の構築。提案 18 から 21 は、2 つのサブセグメントに分割されたセグメントの可算性に関心があります。提案 22 では、内側の大きさという新しい概念が導入されています。これは、辺が表現可能な直線であり、べき乗のみで可測である長方形は無理数であり、この長方形に等しい面積の正方形の辺がmedialとして認定される量であることを証明します。代数的に、基準線の長さを単位とする場合、2 つの辺の長さはaおよび$$ {a\sqrt{p}} $$、 ｐは整数であり、 ａは整数の２乗である。したがって、内側はa p 1/4の形式になります。辺が内側となる正方形の曲面は無理数ですが、内側とも呼ばれます。提案 23 から 29 は、これらのメディアのいくつかの特性を示しています。提案 30 から 36 は、特定の制約に従って、特定のタイプの長さ (長さが同等、電力が同等、中間、無理数など) を構築する方法を説明しています。
- 2 つの量の和の分類。次に、ユークリッドは、長さが比較不可能な 2 つの表現可能な直線の直線和を、累乗が比較可能かどうか、二乗和が有理かどうか、生成される長方形かどうかに基づいて分類します。合理的かどうかだろう。提案 37 から 42 では、彼はこれらの各ケースで得られた直線が非合理的であることを示し、それらを2 つの名前の直線、 2 つの内側の最初の内側、 2 つの内側の 2 番目、メジャー、合理的なものと呼ばれる 6 つのカテゴリに従って分類します。内側が 1 つ、内側が 2 つあるもの。たとえば、2 つの名前の行は、べき乗のみで等価な 2 つの表現可能な行の合計です (提案 37)。主要なものは、べき乗において通約不可能な 2 本の直線の和であり、それらの二乗の和は有理数であり、その積の中間 (つまり、中間の長さの 2 乗) (提案 40) です。代数形式では、基準線を測定単位として、 $$ {\sqrt{2} + 1} $$2 つの名前が並んでおり、$$ {\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{2}}} +\sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}} $$メジャーです。提案 43 から 48 は分解の一意性を証明します。次に、6 つの定義が表示され、2 つの名前を持つ 6 種類の線が区別されます。 ２つの名前のうちの最初のものは、例えば、その最大の項の二乗が最大の項と長さが同等である直線の最小の二乗の二乗を超える２つの名前の行であり、この項はそうでなければ基準線と同等である。代数形式では、$$ {2 + \sqrt{3}} $$は 2 つの名前のうちの最初の名前です。 2 つの名前の 4 番目は、最大の項の 2 乗が最大の項と長さが一致しない線の 2 乗の最小の 2 乗を超える 2 つの名前の行であり、この項はそれ以外の場合は基準線と一致します。$$ {2+\sqrt{2}} $$は 2 つの名詞の 4 分の 1 です。提案 55 から 60 では、ユークリッドは、彼が定義した 6 つのクラスの無理数を、2 つの名前の 6 種類の線と関連付けます。彼は、2 つの名前の 6 種類の線の平方根が、それぞれ 6 つのクラスに対応することを証明します。不合理の。逆に、提案 61 から 66 では、6 つのクラスの無理数の 2 乗が 2 つの名前の 6 種類の直線であることを証明しています。したがって、2 つの名詞のうちの最初の名詞の平方根は、2 つの名詞の並びになります。$$ {\sqrt{2 + \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{3}{2}} + \sqrt{\frac{1}{2}}} $$。長二乗は 2 つの名詞の 4 分の 1 です。$$ {\left(\sqrt{1+\frac{1}{\sqrt{2}}} +\sqrt{1-\frac{1}{\sqrt{2}}}\right)^2 = 2 + \sqrt{2}} $$。
- 2 つの量の差の分類。提案 74 から 103 では、ユークリッドは 6 つの新しいクラスの無理数を定義することによって、2 つの量の差についても同様に処理を進めます。たとえば、2 つの名詞の直線の定義に対応する、和ではなく差を取る差をアポトームと呼びます。 $$ {\sqrt{2} – 1} $$アポトームです。アポトーム自体は 6 つのタイプに分割されており、ユークリッドは、これら 6 つのタイプのアポトームの平方根が、彼が定義した 6 つのクラスの無理差を与え、逆に、これら 6 つのクラスの 2 乗が 6 つのアポトーム タイプを与えることを証明しました。提案 104 から 115 は、このタイプの非合理性のさまざまな特性と例を示しています。 Book XIII の prop.6 で、ユークリッドは基準セグメントを極端な比率と中間の比率に分割する 2 つのセグメントがアポトームであることを証明しています。代数的には、これらは数値です$$ {\frac{\sqrt{5}-1}{2}} $$そして$$ {\frac{3-\sqrt{5}}{2}} $$。
- 不合理性$$ {\sqrt{2}} $$。この非合理性は提案 117 で証明されていますが、この命題は後でユークリッドの研究に追加された可能性があります。確かに、その不合理さは、$$ {\sqrt{5}} $$この文脈では、特にこの不合理性が五角形の特性で何度か使用されているため、これはより期待されるでしょう。
