エドゥアール・ハイネにちなんで名付けられたハイネの定理は 、次のように述べられています。 X が等しくコンパクトであるような 2 つの計量空間 X と Y を考えます。したがって、X から Y までの連続マップはすべて一様連続になります。これは特に、次のI = [ a , b ]
$$ {\mathbb R} $$
は
I 上で一様連続です。
数値関数のステートメントと証明
声明 (a,b) が R² にあるとします。
$$ {\forall \epsilon width=} $$
0, \exists \alpha >0″ > 次のような
$$ {\forall (x,x’) \in [a,b]^2 |x-x’|<\alpha \Rightarrow |f(x)-f(x’)|<\epsilon} $$
次に、 f は [a,b] 上で一様連続である と言います。
デモンストレーション ε > 0 を 固定とし、
$$ {x \in [a,b]} $$
f は [a,b] 上で連続であるため、次のような
α( x ) が存在します。
$$ {|x-x’|<\alpha (x) \Rightarrow |f(x)-f(x’)|<\epsilon} $$
しかし、
α( x ) は
先験的に 無限 の
数 であり、私たちが知っているのは次のことだけです。
$$ {inf (\{\alpha (x) ; x\in [a,b]\}) \geq 0} $$
この定理は、次のことを証明した場合にのみ証明されます。
$$ {inf (\{\alpha (x) ; x\in [a,b]\}) \neq 0} $$
Q がセグメント [a,b] の点 任意の α( Q ) に対応します。
I(Q) を中点 Q と長さ α( Q ) の区間とします。これらの I(Q) は [a,b] をカバーしますが、ボレル・ルベーグの定理 、それらを有限にカバーするだけで [a,b] をカバーできます。
α を これらの有限数間隔の最小の長さとします。
P と P’ を [a,b] の 2 点とし、次のようにします。
$$ {PP'<\frac{\alpha}{2} \quad (3)} $$
P は区間 I(Q’) に属しており、
$$ {PQ'<\frac{\alpha(Q’)}{2}} $$
金
$$ {P’Q’ \leq P’P+PQ'<\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha(Q’)}{2}\leq\alpha(Q’)} $$
(1) が意味するように (2) は次のようになります。
$$ {|f(P)-f(P’)| \leq |f(P)-f(Q’)|+|f(Q’)-f(P’)|<\epsilon} $$
唯一の条件の下で (3)
ボルツァーノ・ヴァイエルシュトラスの性質を使用した一般的な場合の証明 X がコンパクトな 2 つの計量空間 X と Y の一般的なケースに身を置きます。 X 上の距離 d と Y 上の距離 d’ に注目します。ハイネの定理は 、次からの連続的な適用を教えてくれます。
$$ {\forall \epsilon width=} $$
0, \exists \alpha >0″ > 次のような
これを示すために、X 上で連続的ではあるが一様連続ではない f を考慮することで、不条理を推論します。次に、それぞれについて次のようなε > 0 が存在することがわかります。
$$ {\scriptstyle \alpha=\frac{1}{n}} $$
、次のようにして X の 2 つの点
a n と
b n を 見つけることができます。
$$ {d(a_n,b_n)<\frac{1}{n}} $$
そして
$$ {d'(f(a_n),f(b_n)) width=} $$
\イプシロン\,” >。
シーケンス( a n はコンパクトな X に値を持っているため、収束するサブシーケンスを抽出できます。注意します
$$ {\phi\,} $$
抽出と
$$ {a\,} $$
サブシーケンスの限界。関係
$$ {d(a_{\phi(n)},b_{\phi(n)})<\frac{1}{\phi(n)}} $$
( b φ( n ) ) も極限収束であることを示しています
$$ {a\,} $$
。
したがって、n は次のような傾向になります。
$$ {\scriptstyle +\infty} $$
f の連続性と距離 d’ を使用します。
$$ {d'(f(a),f(a))\ge\epsilon\,} $$
。
ここで矛盾が
