ユークリッド幾何学では、三角形は平面図形であり、一般に一直線に並んでいないと考えられる 3 つの点と、それらを接続する 3 つの線分によって形成されます。 「三角形」という名前は、この図に 3 つの角が存在し、それらの間のセグメントによって形成されることから正当化されます。 3 つの点は三角形の頂点、3 つの線分はその辺、3 つの角はその角度です。
三角形は、 3 つの辺を持つ多角形、または 3 つの頂点を持つ多角形として定義することもできます。三角形は点と線分に次ぐ最も単純な多角形図形です。
縮退三角形としては、(180°の) 平らな角度を持つ三角形 (その後、平らな三角形について話します)、2 つのゼロ角 (0°) を持つ三角形、および 1 つの角度 (0°) と 2 つの直角を持つ三角形が挙げられます。 (90°の) 角度は針の三角形と呼ばれます。この記事の残りの部分では、三角形は、三角形に起因するプロパティのほとんどを満たさないため、縮退していないと仮定します。
この記事で述べられている性質と定義のほとんどは、紀元前 300 年頃にユークリッドによってすでに述べられており、その著作「幾何学の要素」で証明されています。
他の幾何学における三角形の研究については、「三角形 (非ユークリッド幾何学)」を参照してください。
書き方の規則
他の多角形と同様に、頂点の名前を引用して三角形に名前を付けます (例: ABC ) 。一般に、辺の長さに名前を付けるには、反対角の名前を小文字で使用します: a = B C 、 b = A C 、 c = A B 。ギリシャ文字の小文字、または頂点の名前にサーカムフレックスアクセントを付けて、角度に名前を付けます。
この記事ではこれらの表記を使用します。
基本的な性質
三角形およびその他の多角形
三角形は最も単純な多角形です。唯一対角線がないものです。空間では、三角形を得るために 3 つの点が同一平面上にあることを保証する必要はありません。一方、たとえば、同一平面上にある 4 つの点が四角形を形成する場合、同一平面上にない 4 つの点は多角形ではなく四面体を形成します。
対角線を含む四角形 |
一方、任意の多角形は三角形に「切断」できます (これらの三角形がこの多角形のパーティションを形成すると言います)。三角形の最小数はn − 2です。ここで、 nは多角形の辺の数です。三角形の研究は、たとえばピックの定理の証明など、他の多角形の研究にとっても基本であることがわかります。
辺の長さ
三角形の 2 つの辺の長さの合計は、常に 3 番目の辺の長さよりも厳密に大きくなります。言い換えれば、三角形ABCでは常に次のようになります。
- a + b > c ;
- a + c > b ;
- b + c > a 。
逆に、 a < b < cとなる 3 つの実数a 、 b 、 cが与えられた場合、 a + b > cの場合、辺がa 、 b 、 cとなる三角形が存在します。
三角形の 3 つの辺の長さの合計は、その周囲と呼ばれます。
角度の合計
三角形の角度の合計は、平面角度の寸法、つまり 180° または π ラジアンに等しくなります。
三角形の類型学
角度の種類による分類
三角形の角度の合計は 180°であるため、三角形は 2 つの直角 (90°) または鈍角 (90° を超える) を持つことはできません。したがって、少なくとも 2 つの鋭角を持ちます。 3 番目の角度が次の場合:
- そうですね、「直角」三角形について話します。
- 鈍角とは、「鈍角」三角形 (または鈍角三角形) のことを指します。
- 鋭角とは、「 acutangle 」三角形 (または鋭角三角形) のことを指します。
鈍角三角形 |