パス行列を使用すると、ベクトル、準同型、双線形形式の行列表現の基底変化公式を書くことができます。
意味
させて
$$ {\mathbb K} $$
ボディ、E は K ベクトル空間です。拠点が2つあるとしよう
$$ {B=(e_1 \dots e_n)} $$
そして$$ {B’=(e’_1 \dots e’_n)} $$
記憶上の理由から、 B ‘を新しい塩基、 B を古い塩基とみなします。したがって、 BからB ‘への通過行列を定義します。 $$ {P_B^{B’}} $$
- $$ {P_B^{B’} = (a_{i,j})_{i,j=1}^n \in \mathcal M_n(\mathbb K)} $$のような$$ {\forall j \in [\![1,n]\!], \quad e’_j=\sum_{i=1}^n a_{i,j}e_i} $$
この行列の列は、古い基数で表現された新しい基数のベクトルを表す行列です。
また、通過行列を、基底B ‘を備えたEから基底Bを備えたEへの恒等写像を表す行列として解釈することもできます。我々は持っています
$$ {P_B^{B’}=\mathcal M_{B’B}(\mathrm{Id}_E)} $$
または$$ {\mathcal M_{B’B}(\mathrm{Id}_E)} $$
は、 B ‘およびBに対するId Eの行列です。
定理
声明
ベクトルをみましょう
$$ {x \in E} $$
、それぞれのコンポーネントを持ちます$$ {X=\begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}} $$
そして$$ {X’=\begin{bmatrix} x’_1 \\ \vdots \\ x’_n \end{bmatrix}} $$
2 つの塩基BとB ‘です。それで
$$ {X=P_{B}^{B’}X’} $$
デモンストレーション
ベクトルを 2 つの塩基に分解すると、次のようになります。
$$ {x=\sum_{j=1}^n x_j e_j=\sum_{j=1}^n x’_j e’_j} $$
さらに、
$$ {\forall j \in [\![1,n]\!], e’_j=\sum_{i=1}^n a_{i,j}e_i} $$
置き換えると、
- $$ {x=\sum_{j=1}^n x’_j \sum_{i=1}^n a_{i,j}e_i} $$
- $$ {x=\sum_{i=1}^n \left(\sum_{j=1}^n a_{i,j} x’_j\right) e_i} $$
ベクトルの分解は各塩基で一意であるため、係数の特定に進むことができます。
- $$ {\forall i \in [\![1,n]\!], x_i=\sum_{j=1}^n a_{i,j} x’_j = \left(P_B^{B’}\cdot X’\right)_i} $$したがって、$$ {X=P_B^{B’}X’} $$
可逆性
BとB ‘ をE の 2 つの塩基とすると、
$$ {P_B^{B’}} $$
反転可能であり、 $$ {\left(P_B^{B’}\right)^{-1}=P_{B’}^B} $$
デモンストレーション
- $$ {P_B^{B’}P_{B’}^B=\mathcal M_{B’,B}(\mathrm{Id}_E)\mathcal M_{B,B’}(\mathrm{Id}_E) = M_{B,B}(\mathrm{Id}_E) = I_n} $$
参考資料
- تغيير القاعدة (جبر خطي) – arabe
- Canvi de base – catalan
- Matice přechodu – tchèque
- Basiswechsel (Vektorraum) – allemand
- Change of basis – anglais
- Ŝanĝo de bazo – espéranto