ベン図について詳しく解説

ベン図とオイラー図は、集合、論理的または数学的関係を概略的に表現したものです。

ベン、オイラー、ジョンストン図

平面の単純な閉曲線のセットである C={C ₁ , …, C _n } を考えてみましょう。曲線で囲まれた内部 (または外部) 領域と、別の曲線で囲まれた内部 (または外部) 領域とのすべての交点が空ではなく接続されている場合、それはベン図または n-ベン図です。さらに、そのような交差点の数は有限です。

C={C ₁ , …, C _n } を平面の単純な閉曲線のセットとする。曲線で区切られた内部 (または外部) 領域と、別の曲線で区切られた内部 (または外部) 領域とのすべての交点が接続され、さらに、有限数のみを持つ場合、それはオイラー線図です。そういった交差点。

オイラー図とベン図の違いは、曲線で区切られた領域の交差点が空になる可能性があるかどうかだけです。したがって、ベン図はオイラー図の特殊なケースです。

ベン図、ジョンストン図、オイラー図は、表面的には同じに見えるかもしれません。それらの違いは、分割する必要があるセットのタイプに応じて、適用分野に現れます。

ジョンストン図は論理命題の真理値を表すのに適していますが、オイラー図は特定のオブジェクトのセットを示すために使用され、ベン図は一般に考えられる関係を強調するために使用されます。

三段論法分析では、ベン図の領域に要素が含まれていない場合にその領域が色付けされ、この方法ですべての集合系を表すことができます。オイラー図では、要素が含まれていない領域が存在するため、これはさらに困難になります。要素は表現されません。

実際、オイラーは特定のセット間の関係を示そうとしましたが、ベンはセットの可能なすべての分割を表現したいと考えました。

オイラー図とベン図のこれらの概念は「統一」されておらず、オイラーに帰せられました。これはおそらく、オイラーが 100 年前に図を導入し、すでに多くの著作を執筆していたためでしょう。

ベン図のグラフィック表現

多くの場合、ベン図の魅力的なグラフィック表現を見つけるのが難しいのです。 n セットのベン図では計画を 2 ⁿゾーンに分割する必要があることを思い出してください。つまり、2 セットの場合は 4 ゾーン、3 セットの場合は 8 ゾーン、4 セットの場合は 16 ゾーンになります…

ベン図を 2 つのセット (2 つの閉曲線) または 3 つのセット (中心が辺 R の正三角形を形成する半径 R の 3 つの円) で表現するのは簡単ですが、ベン図を表現するには状況が複雑になります。ベン自身は、5 つのセットの表現に決して満足していませんでした。遺伝学者であり統計学者でもあるAWFエドワーズが著書『心の歯車』でエレガントな表現を提供するまでにほぼ1世紀かかりました。