ゴールドベースについて詳しく解説

導入

数学では黄金比、つまり

$$ {\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}} $$

カウントの基準として使用できます。このシステムは、黄金比、またはちなみにファイナリとして知られています (黄金比の記号はギリシャ文字の「ファイ」であるため)。すべての実数には基数での標準表現があります。

ここでは数字の 0 と 1 のみが使用され、シーケンス「11」は避けられます。基地この数字の並び (または他の数字) が標準でないものは、数値の代数的性質に関連付けて、いつでも標準形式に書き換えることができます。 — つまり、 。例えば 。無理数基数を使用しているにもかかわらず、すべての整数が無理数基数の有限展開において一意の表現を持っていることは注目すべき事実です。 。他の数値は基数での標準表現を持ちます。 、反復表現を持つ有理数。これらの表現は、有限展開および非有限展開を持つ数値を除いて、一意です (基数 10 の場合と同様: 2.2=2.199999…)。

底数 φ の数値を標準形式に戻す

底面φの表記

最初の 9 つの整数の (標準) 分解

全体	の力 $$ {\varphi\,} $$	ベース $$ {\varphi\,} $$
1	$$ {\varphi^0\,} $$	1
2	$$ {\varphi^1 + \varphi^{-2}\,} $$	10.01
3	$$ {\varphi^2 + \varphi^{-2}\,} $$	100.01
4	$$ {\varphi^2 + \varphi^0 + \varphi^{-2}\,} $$	101.01
5	$$ {\varphi^3 + \varphi^{-1} + \varphi^{-4}\,} $$	1000,1001
6	$$ {\varphi^3 + \varphi^1 + \varphi^{-4}\,} $$	1010.0001
7	$$ {\varphi^4 + \varphi^{-4}\,} $$	10000.0001
8	$$ {\varphi^4 + \varphi^0 + \varphi^{-4}\,} $$	10001.0001
9	$$ {\varphi^4 + \varphi^1 + \varphi^{-2} + \varphi^{-4}\,} $$	10010.0101

位置 10 進表記からインスピレーションを得た表記x= 211.01 _{φ は}数値を指定します。

x = 2φ ² + 1φ ¹ + 1φ ⁰ + 0φ ^{− 1} + 1φ ^{− 2} = 2φ ² + φ + 1 + φ ^{− 2}

この規則では、黄金比自体は 10 _φで表され、その二乗は 100 _φ 、その逆数は0.1 _{φ と}なります。

黄金比は、代数関係 φ ² =φ+1を定義により検証し、数値x を次のような他の形式で書き換えることができます。

x = φ ² + (φ ² + φ) + 1 + φ ^{− 2} = φ ³ + φ ² + 1 + φ ^{− 2} = 1101.01 _φ

したがって、同じ数値が複数の 2 進表記を持つ可能性があります。xの最初の表記には 0、1、2 の数字が含まれていました。 2 番目は0 と 1 のみを使用します。0 から 9 までの数値に限定する先験的な理由はありません。たとえば、次のことに注意できます。

y = 23[18]5.0[12] _φ

y = 2φ ³ + 3φ ² + 18φ + 5 + 12φ ^{− 2}

12 と 18 は、 yの文字表記では数字として見なされます。

標準化の原則

すべての実数には基数での標準表現があります。

ここでは、数字の 0 と 1 のみが使用されており、数字のシーケンス「11」はまったく見つかりません。反対側の表は、最初の整数の標準的な表現を示しています。

非標準の音韻形式で書かれた数値は、公式 φ + 1 = φ ²を賢明に使用すれば、いつでも標準形式に書き直すことができます。たとえば、数値 φ ²自体は、非標準形式では 11 _φ 、標準形式では 100 _φと書くことができます。

数字 211.01 _{φ は}、数字「2」が含まれており、さらに一連の数字「11」も含まれているため、標準スクリプトではありません。この図を標準化するには、次の置換を使用できます。

• 一連の数字「011」は「100」に書き換えることができ、これはφ + 1 = φ ²の関係を表します。
• シーケンス「0200」は、関係 2φ ² = φ ³ +1 を適用することで、「1001」に書き換えることができます。

xの書き込みで禁止されたパターン (011 または 0200) を検出するたびに、これらの置換の 1 つを適用し、これらのパターンが消えるまで操作を繰り返します。処理の順序に関係なく、結果は同じになります。数値x は標準形式で書かれます。パターンの検索は広い意味で理解されるべきです。したがって、パターン「0410」にはパターン「011」(0410 = 0300+0110) とパターン「0200」(0410=0200+0210) の両方が含まれます。

ここでは、数値x= 211.01 _φの例で、使用される置換 (右側) と、この数値の連続する音声表記を示します。

 211.01 φ 300.01 φ 011 φ → 100 φ 1101.01 φ 0200 φ → 1001 φ 10001.01 φ 011 φ → 100 φ

負の数を考慮する

負の整数を音声表記の数字として受け取ることができます。したがって、数値 211.0[-1] _{φ は}、「0」でも「1」でもない数字「-1」と「2」が含まれているため、標準的な書き方ではありません。さらに、一連の数字「11」が含まれています。

この図を標準化するために、前の置換に新しい演算を追加できます: -φ = -φ ² +1 の結果として生じる 0[-1]0 _φ → [-1]01 _φ 。記述を簡素化するために、「-」記号が適用される番号の下に配置されます。このため、この置換は注記されます。

0 1 0 _φ → 1 01 _φ 。

考慮した数値にアルゴリズムを適用した結果は次のとおりです。

 211.0 1 φ 300.0 1 φ 011 φ → 100 φ 1101.0 1 φ 0200 φ → 1001 φ 10001.0 1 φ 011 φ → 100 φ (再) 10001.1 01 φ 0 1 0 φ → 1 01 φ 10000 .011 φ 0 1 0 φ → 1 01 φ （再） 10000.1 φ 011 φ → 100 φ （再）

アルゴリズムの最後でも、「-1」になることができる唯一の数値は最初の項です。正確には、数値xの符号は、その最初の桁の符号と同じです。

基数で表される任意の正の数

このようにして、非標準を独自に標準化することができます。数値が負の場合、この最初の標準化の最後にマイナス符号を因数分解できます。これは、各桁を反対の値に変更し、結果にアルゴリズムを再適用することになります。次に、正の数の反対を標準化された形式で記述します。

この演算をコンピュータで実行すると、エラーメッセージが表示される場合があります。