その最初のコンポーネント

または ：

$$ {\exists\ e \in E /\ \forall\, x \in E , ( x , e ) \,\mathfrak{R} \, x \,} $$

• $$ {\mathfrak{R} \,} $$
  同じ中立要素で左右に統一されている場合に限り、統一されます。

• $$ {\mathfrak{R} \,} $$
  Eの要素が存在し、それが最初の要素であるペアがそれを画像として持つ場合に限り、左側が吸収性になります。
  $$ {\mathfrak{R} \,} $$

または ：

$$ {\exists\ a \in E /\ \forall\, x \in E , ( a , x ) \,\mathfrak{R} \, a \,} $$

• $$ {\mathfrak{R} \,} $$
  権利吸収は、 Eの要素が存在し、それが 2 番目の要素である任意のペアがそれをイメージとして持つ場合に限ります。
  $$ {\mathfrak{R} \,} $$

または ：

$$ {\exists\ a \in E /\ \forall\, x \in E , ( x , a ) \,\mathfrak{R} \, a \,} $$

• $$ {\mathfrak{R} \,} $$
  同じ吸収要素を使用して左右で吸収性がある場合にのみ、吸収性があります。

• $$ {\mathfrak{R} \,} $$
  は、それが左側で退化していて、中立要素の退化要素と統一されている場合にのみ、左側で退化します。

• $$ {\mathfrak{R} \,} $$
  は、右進化し、中立要素 の進化要素と統一される場合にのみ、右進化します。

• $$ {\mathfrak{R} \,} $$
  同じ involutional 要素で左右のinvolutionalである場合にのみinvolutionalです。

• $$ {\mathfrak{R} \,} $$
  は、吸収要素の退化要素を使用して左側で退化および吸収している場合にのみ、左側でゼロポテントになります。

• $$ {\mathfrak{R} \,} $$
  は、右側で吸収要素に対する展開要素を使用して展開および吸収している場合に限り、右側でゼロポテントになります。

• $$ {\mathfrak{R} \,} $$
  同じnilpotent要素を持つ左右のnilpotent である場合にのみnilpotentです。

規則性と関連する性質

• $$ {\mathfrak{R} \,} $$
  は、同じ最初の要素を持つEの要素のペアのいずれかのペアについて、2 つのペアが共通のイメージを持たない場合に限り、左側で正規です。
  $$ {\mathfrak{R} \,} $$

または ：

$$ {\forall ( x , y , z , t ) \in E^{\, 4} , [ ( x , z ) \mathfrak{R} \, t \wedge ( x , y ) \mathfrak{R} \, t ] \Rightarrow [ z = y ] \,} $$

• $$ {\mathfrak{R} \,} $$
  同じ 2 番目の成分を持つEの要素のペアのいずれかのペアについて、2 つのペアが共通のイメージを持たない場合に限り、右側が正規です。
  $$ {\mathfrak{R} \,} $$

または ：

$$ {\forall ( x , y , z , t ) \in E^{\, 4} , [ ( x , z ) \mathfrak{R} \, t \wedge ( y , z ) \mathfrak{R} \, t ] \Rightarrow [ x = y ] \,} $$

• $$ {\mathfrak{R} \,} $$
  左右で規則的である場合に限り、規則的です。

• $$ {\mathfrak{R} \,} $$
  は、一方の最初の成分が他方の第 2 成分に等しいEの要素のペアのペアについて、2 つのペアが共通のイメージを持たない場合に限り、反正則です。
  $$ {\mathfrak{R} \,} $$

または ：

$$ {\forall ( x , y , z , t ) \in E^{\, 4} , [ ( x , z ) \mathfrak{R} \, t \wedge ( y , x ) \mathfrak{R} \, t ] \Rightarrow [ z = y ] \,} $$

結合性と類似のプロパティ

• $$ {\mathfrak{R} \,} $$
  次の特性を満たす場合にのみ結合性があります。

$$ {\forall ( u , v , w , x , y , z ) \in E^{\, 6} , [ ( x , y ) \mathfrak{R} \, u \wedge ( u , z ) \mathfrak{R} \, w \wedge ( y , z ) \mathfrak{R} \, v ] \Rightarrow [ ( x , v ) \mathfrak{R} \, w ] \,} $$

• $$ {\mathfrak{R} \,} $$
  次の特性を満たす場合にのみ、べき乗が結合します。

$$ {\forall ( x , y , z ) \in E^{\, 3} , [ ( x , x ) \mathfrak{R} \, y \wedge ( x , y ) \mathfrak{R} \, z ] \Rightarrow [ ( y , x ) \mathfrak{R} \, z ] \,} $$

• $$ {\mathfrak{R} \,} $$
  次の特性を満たす場合にのみ順列です。

$$ {\forall ( r , s , t , u , v , w , x , y , z ) \in E^{\, 9} , \,} $$

$$ {[ ( x , y ) \mathfrak{R} \, z \wedge ( u , v ) \mathfrak{R} \, w \wedge ( x , u ) \mathfrak{R} \, r \wedge ( y , v ) \mathfrak{R} \, s \wedge ( z , w ) \mathfrak{R} \, t ] \Rightarrow [ ( r , s ) \mathfrak{R} \, t ] \,} $$

その他のプロパティ

• $$ {\mathfrak{R} \,} $$
  すべての画像が次の場合にのみ可換です。
  $$ {\mathfrak{R} \,} $$
  カップルのイメージもまた、相反するカップルのイメージです

または ：

$$ {\forall ( x , y , z ) \in E^{\, 3} , [ ( x , y ) \mathfrak{R} \, z ] \Rightarrow [ ( y , x ) \mathfrak{R} \, z ] \,} $$

逆の三項関係

定義と例

内部三項関係が与えられた集合E を考えます。

。

反対の三項関係

「 – 」で示される内部三項関係です。 “、次のように定義されています。

$$ {\forall ( x , y , z ) \in E^{\, 3} , [ ( x , y ) (-\mathfrak{R}) \, z ] \Leftrightarrow [ ( y , x ) \mathfrak{R} \, z ] \,} $$

たとえば、[( x , y ) Exp z ] ⇔ [ z = x ^y ] で定義されるべき乗Exp の逆の関係は、関係z = y ^xです。

もう 1 つの例は、2 つの Diff セットの差分です: [( A , B ) Diff C ] ⇔ [ C = A \ B ]。
その逆の関係は [( A , B )(-Diff) C ] ⇔ [ C = B \ A ] で定義されます。

あるいはまた、人間の間では、「それぞれが父であり母である」という関係は、その反対として「それぞれが母であり、〜の父である」という関係を持っている。

プロパティ

• それぞれの内部三項関係には、反対の関係が 1 つだけあり、その関係は 1 つだけです。
• すべての三項関係は、その反対の反対です。
• 三項関係の反対は、この関係が演算である場合に限り、演算になります。
• 三項関係の反対は、この関係が合成法則である場合に限り、合成法則となります。
• 三項関係は、可換である場合に限り、その反対の関係とマージされます。

逆三項関係

定義と例

内部三項関係が与えられた集合E を考えます。

。

リレーションの左逆三項関係(またはRTIG )

は、「」で示される内部三項関係です。 “、次のように定義されています。

$$ {\forall ( x , y , z ) \in E^{\, 3} , [ ( x , y ) \lceil \mathfrak{R} \, z ] \Leftrightarrow [ ( z , y ) \mathfrak{R} \, x ] \,} $$

リレーションの右逆三項関係(またはRTID )

「」で示される内部三項関係です。 ” または ” “、次のように定義されています。

$$ {\forall ( x , y , z ) \in E^{\, 3} , [ ( x , y ) \mathfrak{R} \rceil \, z ] \Leftrightarrow [ ( y , z ) \mathfrak{R} \, x ] \,} $$

これらの概念を明確にするために、べき乗 Exp の例に戻りましょう。

• その RTIG は次のように定義されます。 z = x ^1/y ;言い換えれば、それは x の y乗根です。
• その RTID は次のように定義されます。 z = log _y x;言い換えれば、それは x の y を底とする対数です。

もし

が可換である場合、その RTIG と RTID は、「」で示される単一の逆三項関係(RTI) にマージされます。 」。

例:

• 減算は加算の RTI です。
• 除算は乗算の RTI です。

これらの例は、一般に RTI が可換でないことを示しています。したがって、いくつかの例外を除いて、それら自体は RTI を持たず、別個の RTIG と RTID のみを持ちます。RTIG は最初の三項関係に他ならず、RTID は RTI の反対です。

したがって、非可換な減算は、RTIG 加算に対して、RTID に対して減算と逆の関係を持ちます。さらに、後者には、RTID の加算と RTIG の減算があります。

プロパティ

• 内部三項関係はすべて、その RTIG の RTIG、およびその RTID の RTID の RTID です。

• 三項関係の反対の RTIG は、後者の RTID です。

• 三項関係の反対の RTID は、後者の RTIG です。

• 内部三項関係の RTIG の RTID は、その RTID の反対の関係になります。

• 内部三項関係の RTID の RTID は、その RTIG と反対の関係になります。

前のプロパティでは、対称性が表示されます。より正確には、全体的にインポートすることが可能です

3 つの要素を持つ順列のグループの構造 ( その後、中立要素の役割を果たします）。

• $$ {\mathfrak{R} \,} $$
  RTIG が内部操作である場合に限り、左側が正規になります。

• $$ {\mathfrak{R} \,} $$
  RTID が内部操作である場合に限り、正しく正規です。

• もし
  $$ {\mathfrak{R} \,} $$
  可換である場合、その RTI が内部操作である場合に限り、それは正規です。

• もし
  $$ {\mathfrak{R} \,} $$
  が可換、一元的、可逆である場合、その RTI は内部合成法則となります。

• $$ {\mathfrak{R} \,} $$
  は、その RTIG が左側で統一的である場合にのみ退化的であり、この RTIG は、RTID もそうである場合に限り、退化的です。

• $$ {\mathfrak{R} \,} $$
  は、その RTIG が進化的である場合に限り、左側で統一的です。また、この RTIG は、RTID が右側で統一的である場合に限り、そうなります。

• $$ {\mathfrak{R} \,} $$
  は、その RTIG が右側で一様である場合にのみ、右側で一様であり、この RTIG は、RTID が進化している場合に限り、右側で一様です。

• もし
  $$ {\mathfrak{R} \,} $$
  が可換である場合、その RTI が進化的で右への一様、つまり右への漸進的である場合に限り、一様となります。

• $$ {\mathfrak{R} \,} $$
  は、その RTIG も順列である場合にのみ順列であり、この RTIG は、RTID も順列である場合にのみ順列です。

例:

• (
  $$ {\mathbb{N} \,} $$
  , + ) は半群です。したがって、減算は
  $$ {\mathbb{N} \,} $$
  中立要素 0 の右側の内部順列、規則的および包含的な演算。
• 同じく、 （
  $$ {\mathbb{N}} $$
  *, x) は半群であるため、次のように分割されます。
  $$ {\mathbb{N}} $$
  * は、中立要素 1 の順列的で規則的で右側に関与する内部演算です。
• (
  $$ {\mathbb{Z} \,} $$
  , +) はアーベル群です。したがって、減算は
  $$ {\mathbb{Z} \,} $$
  中立要素 0 の右側にある順列的、規則的かつ包含的な内部法則、つまり (
  $$ {\mathbb{Z} \,} $$
  , -) はアンチグループです。
• 同じく、 （
  $$ {\mathbb{Q}} $$
  *, x) はアーベル群であるため、次のように分割されます。
  $$ {\mathbb{Q}} $$
  * は、中立要素 1 を持つ順列的で規則的で権利が関与する内部法則です。つまり (
  $$ {\mathbb{Q} \,} $$
  *, /) もアンチグループです。

参考資料

1. Relacija (čvor) – bosniaque
2. Relace – tchèque
3. Тивĕм – tchouvache
4. Relation – allemand
5. Σχέση (αποσαφήνιση) – grec
6. Relation – anglais