この記事はシリーズの一部です 小学校数学 |
| 代数 |
| 分析 |
| 算術 |
| ジオメトリ |
| 論理 |
| 確率 |
| 統計的 |
1次方程式は、単純な比例問題と同様に、未知数のべき乗が 1 次と 0 のみである方程式です。最悪の場合、それは代数操作によってそれに帰着される任意の方程式になる可能性があります。
例えば：
- 13u−8u=3.6×5
- 4a+7=8
- r+b×4=0
- 3d+5d−7−11d=−4
歴史的
一次問題の解決はバビロニアとエジプトのアルゴリズムで始まり、中世の誤った位置の方法、またはアラブ人による直接解決、そして象徴主義を使用した現代の方法と続きました。
決議
単純な誤った位置
この原理は、現象に比例性がある場合に適用されます。それは、試み（誤った立場）を作成し、解決策を推測することで構成されます。
次のバビロニア問題の場合にこの方法を研究します。
「石を持っていますが、重さを量ったことがありません。重さの 7 分の 1 を取り除き、全体の重さを量ったところ、1 マナ (質量の単位) でした。重石はもともと何でしたか?
石の重量に任意の値 (偽の位置)、たとえば 7 を与えることができます。この値は完全にランダムに与えられるわけではなく、単純な方法で 6 という単純な数を含む以下の計算によって与えられます。バビロニアの 60 進数(60 進数) で操作されます。
石の重さが 7 マナで、7 の 7 番目が 1 である場合、軽くなった石の重さは 6 マナで、これは求められる値 (1 マナ) の6 倍です。
したがって、軽くなった石の重さを 1 マナにするには、最初に 6 倍軽い石を用意する必要があるため、解は 6 分の 7 になります。
この方法は、たとえば、未知数が等式の一方の側にあり、既知の数がもう一方の側にある場合など、特定の場合にのみ機能することに注意してください。はじめに提案された方程式のうち、この方法で解けるのは最初の方程式だけです。
p を石の重量とすると、この問題の方程式は次のようになります。
フォールスダブルポジション
二重偽位置の原理は、現象に比例性がない場合に適用されます。これは、2 回の試行 (2 つの誤った位置の検出) と、解決策 (または正確な位置) の推定で構成されます。 (大砲の場合と同様に) 弱い提案と強い提案を 1 つずつ行うことが望ましいです。
例:この牛の群れで、これらの動物の 3 分の 1 をこれら 17 頭の美しい牛と交換すると、牛の数は 41 頭に増加します。
- 最初の弱い試み: 24 頭の牛を連れて行きます。そのうちの3分の1を削除します。牛は16頭残っています。牛を17頭追加します。この場合、牛群には 33 頭の牛が含まれるため、必要な牛よりも8 頭少なくなります。
- 2 番目の強力な試み: 45 頭の牛を連れて行きます。そのうちの3分の1を削除します。牛は30頭残っています。牛を17頭追加します。牛群には 47 頭の牛が含まれていましたが、 6 頭は多すぎました。
正確な乳牛の数は、2 回の試行の平均値をエラーで重み付けしたものになります。要するに牛の頭数は
数学的説明
ここでは代数計算を使わずに説明を試みます。
この問題では、アフィン現象に取り組んでいます。つまり、開始時の牛の数と終了時の牛の数の間には比例性はありませんが、出発時に追加される牛の数と出発時の牛の数の間には常に比例します。到着時に追加の牛:
- 最初に 3 頭の牛を連れて行った場合、到着時には 19 頭になります。
- 最初に 24 頭の牛 (さらに 21 頭) を連れて到着した場合、到着時には 33 頭 (さらに 14 頭) になります。
- 開始時に 45 頭 (さらに 42 頭) の牛を連れて行った場合、到着時には 47 頭 (さらに 28 頭) になります。
したがって、正確な位置と 2 番目の誤った位置の場合、最初の誤った位置の場合と比較して追加の牛の数を数えることによって比例表を作成できます。
| 位置 | 出発 | 到着 |
| ちょうど | ? | 8 |
| 間違った秒 | 45 – 24 | 14 |
4 番目の比例規則は、牛の数を追加して 24 にすることを示します。
- $$ {\frac{8\times (45-24)}{14}} $$
つまり、牛の総数です。
- $$ {\frac{8\times 45 + 6\times 24}{14}} $$
代数の助けを借りずにこの方法を設計し、適用できるインド人と中国人の利点を賞賛できます。また、この問題を非常に簡単に解決できる代数記述の効率にも感心できます。
- これには、方程式 x – x/3 + 17 = 41 を解くことが含まれます。この方程式は、次と等価になります。
- 2x/3 + 17 = 41
- 2x/3 = 24方程式の両辺から 17 を引きます。
- x = 24 × (3/2)=36両辺に 3/2 を掛けます
- したがって、初期の牛の数は 36 頭となります。
一般的な決議
1 次方程式は、ax=b タイプの方程式を導きます。
次に 3 つのシナリオがあります。
- もし$$ {a \neq 0} $$方程式 ax=b の解は、実際には商の定義です。$$ {x = \frac b a} $$。
- a = 0の場合、および$$ {b \neq 0} $$、平等が生じる可能性はなく、方程式は解を認めません。その場合、解のセットは空になります。
- a = 0およびb = 0の場合、未知の値がどのようなものであっても等価は真です。この方程式は、私たちが取り組んでいるすべての数値の集合を解集合として認めます。
rem: これら 3 つの区別は、実数、有理数、または複素数のセットで方程式を解こうとするときに有効です。整数のセットで方程式を解こうとする場合、提案された解b/aが整数ではない可能性があり、その場合、解のセットは空であると言えます。最後に、これらの集合を超えると、初等数学の範囲を超える他の区別 (非整合性リング) が存在します。
いくつかの例
1) このショーのチケットは 12 ユーロですが、グループは 156 ユーロを支払う必要があります。グループには何人いますか?
- これには、方程式 12x = 156 をNで解くことが含まれます。ここで、x はグループ内の人数を表します。
- 解 x = 156/12 = 13。したがって、グループには 13 人がいます。
2) このショーのチケットは 12 ユーロですが、グループは 206 ユーロを支払う必要があります。グループには何人いますか?
- これには、方程式 12x = 206 をNで解くことが含まれます。ここで、x はグループ内の人数を表します。
- 解 x = 206/12 = 17.166…. これは整数ではありません。この問題には解がありません。レジ係が間違いを犯したに違いありません。
3) Rで方程式 2x – 2 = 5x – (5 + x) を解こうとします。
- 和と差のルールにより、この方程式は次の方程式と連続して等価であると言えます。
- 2x – 2 = 4x – 5
- 2x + 3 = 4x方程式の両辺に 5 を加えます。
- 3 = 2x方程式の両辺から 2x を引いたもの
- 2x = 3等価性は両方向で読み取ることができます
- x = 3/2これは一般規則の有名な b/a です。
- したがって、方程式の解は 3/2 になります。
4) Rで方程式 2x – 2 = 3x – (5 + x) を解こうとします。
- 和と差のルールにより、この方程式は次の方程式と連続して等価であると言えます。
- 2x – 2 = 2x – 5
- 2x + 3 = 2x方程式の両辺に 5 を加えます。
- 3 = 0.x方程式の両辺から 2x を引いたもの
- 3 が 0 に等しいことは不可能であるため、方程式には解がありません。
5) Rで方程式 2x – 5 = 3x – (5 + x) を解こうとします。
- 各メンバーを単純化すると、次のようになります。
- 2x – 5 = 2x – 5
- この等価性は常に真であり、x の値には依存しません。解の集合は集合Rです。
比例の場合
方程式
最初の方程式の解は次のとおりです。
2 番目の方程式の解は次のとおりです。