サイクルグラフ – 定義

導入

数学、特に群理論では、群の周期のグラフはこの群のすべての周期を表し、小さな有限群の構造を視覚化するのに特に役立ちます。要素が 16 未満のグループの場合、サイクル グラフは同型までのグループを決定します。

サイクル

サイクルとは、グループの特定の要素の累乗の集合です。要素aのn乗であるa ⁿは、 a自体をn回掛けた積として定義されます (規則a ¹ = aおよびa ⁰ = e 、群の中立要素)。要素aが循環を生成するといいます。群が有限の場合、べき乗の 1 つ (ゼロ以外) は中立要素eでなければなりません。これらの累乗のうち最小のものはサイクルの次数、つまりサイクルに含まれる個別の要素の数です。サイクルグラフは、多角形のセットによってサイクルを表現したもので、各頂点は要素を表し、辺 (連続する累乗を結ぶ) は多角形のすべての要素が同じサイクルに属していることを示します。

サイクルは重複する場合もあれば、中立要素のみが共通する場合もあります。グラフは興味深いサイクルのみを表しています。

たとえば、 a が次数 6 のサイクルを生成する場合 (より簡単にa は次数 6 であると言います)、 a ⁶ = e となります。 a ²、{ a ²、 a ⁴ 、 e } のべき乗の集合もサイクルになりますが、これは新しい情報を提供しません。同様に、 ⁵は と同じサイクルを生成します。

したがって、他のサイクルのサブセットではない原始サイクルを考慮するだけで十分です。それらはそれぞれ、プリミティブ要素aによって生成されます。サイクル グラフは、グループの各要素を頂点で表し、 e を各プリミティブ要素aに接続し、次にa をa ² に接続し、… a ^n-1からa ⁿに接続し、… eに戻るまで接続することによって取得されます。

技術的には、前の説明では次数 2 の要素 ( a ² = eなど) が 2 つのエッジによってeに接続されますが、通常は 1 つだけを描画します。

サイクルグラフで読み取れるその他の情報

• 要素xの逆行列は、サイクル グラフで識別できます。これは、 eからの距離が同じであるxを含むサイクルの要素です (サイクルを逆方向​​に横断することによって)。

プロパティ

サイクル グラフの例として、二面体群D ₄を考えてみましょう。このグループの乗算表が左側に示され、サイクル グラフが右側に示されます。eは中立要素です。

二面体群 D ₄の周期のグラフ。

	e	b	もっている	平方	3	腹筋	a ² b	a 3 b
e	e	b	もっている	平方	3	腹筋	a ² b	a 3 b
b	b	e	a 3 b	a ² b	腹筋	3	平方	もっている
もっている	もっている	腹筋	平方	3	e	a ² b	a 3 b	b
平方	平方	a ² b	3	e	もっている	a 3 b	b	腹筋
3	3	a 3 b	e	もっている	平方	b	腹筋	a ² b
腹筋	腹筋	もっている	b	a 3 b	a ² b	e	3	平方
a ² b	a ² b	平方	腹筋	b	a 3 b	もっている	e	3
a 3 b	a 3 b	3	a ² b	腹筋	b	平方	もっている	e

サイクルe、a、a²、a³に注目します。これは、逆方向のサイクルでもあります: (a³)²=a² 、 (a³)³=a 、および(a³) ⁴ =e 。この動作は一般的です。つまり、サイクルは常に両方向に通過できます。

クォータニオン グループ Q ₈のサイクルのグラフ。

2 つのサイクルが要素 (中立要素以外) を共有する場合、あいまいさが発生する可能性があります。たとえば、クォータニオンのグループを考えてみましょう。そのサイクル グラフは右側に表示されます (中立要素として 1)。中央の行に示されている 1 と -1 以外の各要素は、-1の 2 乗を持ちます。この場合、いくつかの色を使用してサイクルを区別したり、対称的な表現を選択したりできます。

2 つの異なるグループは同じサイクル グラフを持つことができますが、それらの乗算テーブル、またはグループのジェネレータを使用してグラフの頂点をマークすることによってのみ区別できます。これが発生する最小次数は 16 です。以下に示すように、グループ Z ₂ x Z ₈とモジュラー グループの両方に同じグラフがあります。

次数 16 Z ₂ x Z ₈のグループのサイクルのグラフ。

次数 16 のモジュラー グループのサイクルのグラフ。