連続力学の基本方程式 – 定義

導入

連続力学の基本方程式は、連続力学の文脈で最も一般的に使用される数学的記述をまとめたもので、主に固体の変形や流体力学に適用できます。

システムのいくつかの整数物理量

一般に、我々は、現時点では特定されていない内部質量分布、言い換えれば、表面によって区切られた体積B内の質量密度ρによって特徴付けられる連続体モデルの観点から、地球の変形と力学を研究します。

。私たちに関わる問題では、この境界線はは先験的に与えられるものではなく、変形可能な物体の平衡形態に対応すると仮定することによって決定されなければなりません。さらに、現時点では、選択されているがまだ指定されていない基準系に関して速度場v _iと、内部角運動量密度が存在すると仮定します。 、体積力f _i 、応力場 (または張力場) Ti _{j 、}力の体積モーメントMi _iおよび表面力モーメントMi _jです。これらの量はすべて、時間tの陽的または陰的な関数になります。特に指定のない限り、原点 (0, 0, 0) が点O にあるデカルト参照系を使用します。空間座標をx _iと連続する空間導関数で表します。 、 、 … による 、 , … ( i 、 j = 1,2,3の場合)。通常、ここではベクトルとテンソルのインデックス表記と、繰り返されるサイレントインデックスに関するアインシュタインの総和規則を採用します。

モデルの総質量は、

$$ {M = \int_B \rho\,\mathrm d\tau} $$

ここで、 dτ = d x ₁ d x ₂ d x ₃は体積要素です。

総衝動は、

$$ {P_i = \int_B \rho v_i\,\mathrm d\tau} $$

そして総角運動量は

$$ {L_i = \int_B \left(\varepsilon_{ijk} x_j \rho v_k + \ell_i \right) \mathrm d\tau} $$

または

Levi-Civitaのシンボルです。

物体の体積Bに加えられる力の合力は次のようになります。

$$ {F_i = \int_B f_i. \mathrm d\tau + \int_{\partial B}n_j T_{ij}. \mathrm d\sigma} $$

ここで、 dσ は表面の要素です

₍ n1 _, n2 _, n3 )は表面に垂直な単位ベクトルを示しますそしてB巻のことを指摘します。同様に、物体Bに加えられる力のモーメントは次のようになります。

$$ {M_i = \int_B \left(\varepsilon_{ijk} x_j f_k + m_i \right). \mathrm d\tau + \int_{\partial B} \left(\varepsilon_{ijk} x_j n_q T_{kq} + n_q M_{iq} \right). \mathrm d\sigma} $$

。

これらの公式はあらゆる状況で有効です。さらに境界面を認めると、

Bの は規則的であり、表面張力の場と力のモーメントはBで微分可能であるため、ガウスの発散定理を適用して次のように書くことができます。

$$ {F_i = \int_B \left(f_i + \partial_j T_{ij} \right). \mathrm d\tau } $$

$$ { M_i = \int_B \left(\varepsilon_{ijk} x_j f_k + m_i + \partial_q \left(\varepsilon_{ijk} x_j T_{kq} + M_{iq} \right) \right). \mathrm d\tau} $$

。

地球の変形を説明するための仮説と法則

理論的な地球力学問題では、一般に、単位体積f _iあたりの外力の合力は体積重力で構成されると考えられます。

自己重力および外部物体の重力引力、体積電磁力によって引き起こされる 、慣性体積力 (コリオリと軸分離) 、潮汐力 、外部荷重によって生じる体積力 。一方、表面力T _i ( x , t , n ) は方向nに依存し、一般にコーシー関係T _i ( x , t , n )を介して応力テンソルTi _{j (} x , t )に寄与します。 = Ti _{j (} x , t ) n _j ( x , t , n ) は、弾性応力テンソルを生成する弾性力です。 、マクスウェル テンソルを生成する電磁表面力 、レイノルズ テンソル、弾性応力のテンソルを生成する粘性力 、摩擦力のテンソルと弾性応力のテンソルを生成する非粘性接触摩擦力 、および応力テンソル、弾性応力テンソルを生成するその他の表面力 。

単位質量当たりの重力gは、より簡単に重力加速度または重力と呼ばれ、重力ポテンシャルφ ^gから導出されます。ここでは、これを重力ポテンシャルエネルギーに同化します。

$$ {f^g = \rho g = – \rho \nabla \phi^g} $$

。

ポアソン方程式によってポテンシャルφ ^{g が}決定されます。

$$ {\nabla^2 \phi^g = 4 \pi G \rho} $$

、

ここで、 G は重力定数です。重力ポテンシャルの特性は、 φ ^gとg が空間のどこでも、特に 2 つの異なる連続媒体間の境界上で連続関数であることを意味することに注意する必要があります。

電磁相互作用によって生成される力場に関しては、通常、物質点は電荷を持たない、つまり電気的に中性であると想定されます。このように、地球の磁場中を移動する質点ξにはローレンツ力が直接作用しないと仮定されます。しかし、アース材料はさまざまな程度で電気を伝導します。つまり、ゼロではない有限の電気伝導率σ _eを持ちます。したがって、この物質がゼロ以外の速度vで移動すると、内部の地磁気と相互作用して誘導電流密度Jを生成し、可変磁気誘導場B (ξ, t )を生じさせて初期磁場を変更します。一方、この電流の変動する流れによって誘導電界E (ξ, t )が生成されます。移動する地球物質と地磁気Bとのこれらすべての相互作用の結果、誘導電磁力場f ^em = c ^{− 1} Jが誕生します。 B 、 J = σ _e ( E + c ^{− 1} v . B )で、これにより動きが変更されます。ここではガウス静電単位を使用しました。cは真空中の光の速度です。完全な誘電体(σ _e = 0)では、電磁力はゼロ( f ^em = 0)になることに注意してください。外部法線nとの電磁界面では、量n 。 E 、 n 。 Hとn 。 Bは連続です。地球の弾性変形、特に地震波の伝播、自由振動、潮汐変形などを研究するとき、私たちは弾性戻り力が電磁気よりもはるかに大きいと単純に仮定して、そのような磁気流体力学または磁気弾性現象の考慮を無視することがよくあります。力。しかし、自励ダイナモ効果による地球の外核における内部地磁場の生成を考える際には、これらの力が存在し、不可欠であることを心に留めておく必要があります。これらは、核の変形や振動を研究する場合には最終的に重要になる可能性がありますが、低振幅の地球全体の変形を考慮する場合、実際には無視できる程度です。

慣性力は次のように定式化できます。

$$ {f^\text{in} = \rho \nabla \left( \frac{1}{2} | \Omega .r |\right )^2 – 2 \rho \Omega.v} $$

ここで、 Ωは瞬間的な回転ベクトル、 r は質点 \xi の位置ベクトル \mathrm、 v はこの点の瞬間的な速度です。第 1 項は軸方向力を表し、第 2 項は単位体積あたりのコリオリ力を表します。

潮汐変形は力によって引き起こされます

これも、潮位ポテンシャルW ^mから導出されます。地上潮汐の場合、現在市販されている検出装置の感度を考慮すると、月と太陽の四極項（ n = 2）と八極項（ n = 3）を総合的に考慮する必要がある。多極の潮位ポテンシャル:

$$ {W^\text{m} = \Sigma_A G M_A \mathrm d_A^{-1} \sum_{n=2}^\infty \left( \frac{r}{\mathrm d_A} \right)^n P_n \left( \cos z_A \right)} $$

。

ここで、 G は重力定数( G = 6,673.10 ^{− 11} m ³ s ^{− 2} kg ^{− 1} ) 、 MA_は潮汐を生成する星の質量、 d _{A は}地球の質量中心からの距離です。 Aの質量中心、 z _AはAの天頂距離、 r は地球の質量中心から潮汐が測定される地点までの距離です。記号P _{n は}、通常どおり、 n次のルジャンドル多項式を指定します。上の式の最初の合計は、理論的には、地球に潮汐効果を引き起こすことができるすべての星Aに拡張されます。実際には、それは月、太陽、そして非常に正確な計算では金星と木星に限定されます。