応力テンソル – 定義

導入

応力テンソルは、 連続媒体の力学で応力の状態、つまり媒体の変形部分間に作用する表面力 (努力とも呼ばれます) を表すために使用される表現です。この用語は 1822 年頃にコーシーによって導入されました。

表面力は媒体と交差する各表面に対して定義されるため、テンソルは固体の各点または局所的に定義されます。したがって、固体の応力状態はテンソル場によって表されます。この事実は、制約フィールドとも呼ばれます。

線形弾性の枠組みでは、応力場は一般化されたフックの法則によって変形場に関連付けられます。つまり、テンソル (代数ではない)方程式σ = Eε を書くことができます。

構造地質学とテクトニクスの文脈では、古応力テンソルについてよく話されます。これは、ひだ、断層、片理などの変形の原因となる、応力テンソルの異方性部分を表します。マトリックスの項の絶対値にはアクセスできませんが、主な三軸の方向と、これら 3 つの軸間の強度比を見つけることは可能です。

場合によっては、光弾性測定法を使用してこれらの応力を視覚化することが可能です。

テンソルの構築

基礎を考えてみましょう

立方体の面の番号付け

その面に番号を付けてみましょう。

面iと – i は法線の面です。

$$ {\vec{e_i}} $$

立方体の中心から始めて、

$$ {\vec{e_i}} $$

i 、つまり面を指します。i は反対側の面です。

まず、正の番号が付けられた面のみを考慮します。

テンソルコンポーネントのインデックス

面jには力ベクトルが作用します

$$ {\vec{F_j} = \begin{pmatrix} F_{1j} \\ F_{2j} \\ F_{3j} \end{pmatrix}} $$

F _{ij は}次の成分です

$$ {\sigma_{ij} = \frac{F_{ij}}{a^2}} $$

したがって、応力の状態をテンソルで記述します。

$$ {T(M) = \begin{pmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13}\\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23}\\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}\\ \end{pmatrix} } $$

T は、3 行 3 列の次数 2 のテンソルです。これは、特定の点Mに対してローカルに定義されます。

力学では、一般化された表記法を常に使用するとは限りません。

$$ {T(M) = \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz}\\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz}\\ \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz}\\ \end{pmatrix} } $$

せん断に対応する非対角項は τ _ijで表されることが多く、テンソルの成分は次のように表されます。

$$ {T(M) = \begin{pmatrix} \sigma_{xx} & \tau_{xy} & \tau_{xz}\\ \tau_{yx} & \sigma_{yy} & \tau_{yz}\\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_{zz}\\ \end{pmatrix} } $$