特殊相対性理論におけるサニャック効果の計算 – 定義

導入

サニャック効果を観察した後は、特殊相対性理論の枠組みの中でその詳細かつ厳密な分析を実行することが適切です。

サニャック効果

特殊相対性理論の枠組みでサニャック効果を導き出します。これは、特殊相対性理論が、サニャック効果（内部を伝播する E によって同時に発せられた 2 つの光信号のトランシーバー E への到達時間のシフト）の速度異方性特性である、回転系における光の速度異方性を予測するという事実を裏付けるものとなります。回転ディスクの円周に沿って反対方向）。さらに詳細を知るために、回転フレームの時空の幾何学を研究することも読者にとって役立つかもしれません。

基準座標系 R は、半径Rの回転ディスクの中心を原点とする慣性基準座標系を指定します。トランシーバー E は、ディスクの周縁上の点(E で示される) に配置されます。ディスクと一緒に回転します。ディスクに取り付けられた回転マーカーは R’ で示されます。

E に位置し、E と同じ速度Vで移動する元の (ローカル) 慣性系を R1 と呼びます。E の近傍では、R’ は微小時間の間 R1 と同じ速度で移動します。光の相対速度が（特殊相対性理論に従って）等方的であるのは接線慣性系 R1 内であり、回転系 R’ 内ではありません。回転系 R’ における光の相対速度 (その定義は慣性系 R 内で起こる遠方の時計の相対論的同期に基づく相対速度) と接線慣性系 R1 における光の相対速度 (その定義は慣性系 R1 における相対速度) の間の混同この定義は、接線慣性基準系で起こる相対論的同期に基づいています。R1) は、過去にサニャック効果を特殊相対性理論の失敗として誤って解釈する推論の誤りの原因となっています。

R1、R2、R3… は、回転ディスクの端にある点の微小近傍を R’ の速度で (そしてわずかな継続時間の間) 進む接線慣性系を指定します。慣性系間のローレンツ変換は使用できますが、R’ の場合を全体として扱うには ローレンツ変換は適用できません。

円盤は角速度ωで回転しています。円盤は二次元では平らなので、極座標で作業することを選択します。

デカルト座標と極座標は次のように単純に接続されます。

相対論的区間は次のように与えられます。

d s ² = g _μν d x ^μ d x ^ν = − c ² d t ² + d r ² + r ² d θ ²

(ここで「計量テンソル」 g _μνに注目しました。これは、座標の変更後、ミンコフスキーテンソルη _μνに等しくないためです)。極座標とデカルト座標の間のリンクを使用して簡単に検証できます。

E の世界線は次の座標で与えられます。

つまり

E は 2 つの信号S ₁およびS ₂ (必ずしも光である必要はない) を放射し、その角速度はω ₁ (E と同じ方向の信号) およびω ₂ (反対方向の信号) です。彼らの世界線は、上記と同様に、次のように与えられます。

私たちが興味を持っているのは、完全な回転後、つまり世界線が交差する瞬間の E による信号S ₁とS ₂の受信です。これらのイベントは瞬間的に発生します

この方程式系の解は次のとおりです。

書き込みを容易にするために、速度を落とします。

適切な時間は、間隔c d τ = − d sによって与えられます。したがって、E の適切な時刻、つまり R’ に静止している時計で E が読み取った時刻を取得するには、その世界線上の間隔を積分する必要があります (円盤の円周に沿って、R’ は時間の経過とともに局所的に、原点付近の R1、R2… で示される異なる接線慣性系で識別されます。

上記で計算された時間を使用すると、E によって送信された 2 つの信号の受信イベント中に E の時計によって示される時間がわかります。

そしてその差は以下に等しい

私たちは、トランシーバー E が R1 内で速度が等方的な信号 (たとえば光信号など) を使用する場合に興味があります。 E がパーティクルを放出する場合、必要なのは両方向に同じ方法で放出することだけです。速度がcより小さい媒体 (水、光ファイバー) 内を伝播する光の場合、媒体は E とともに移動する、つまりディスクに付着している必要があります。同様に、音波を使用する場合、空気はディスクとともに移動する必要があります (音の速度が一定であるのは伝播媒体との関係です)。

R1 に等方性速度を課すには、R1 の信号の速度B ‘ ₁とB ‘ _{2 を}知る必要があります。 R と R1 は慣性系なので、速度の加算を使用できます。

時差を代入すると、

等方性速度を使用して放出制約を考慮できるようになりました。

B ‘ ₁ = − B ‘ ₂

前の関係は次のようになります。

これが相対論的なサニャック効果です。

R’ の E での信号の到着時間の差の計算は、技術部分で説明されています。この結果は、信号の速度が R1 で等方的であると仮定することにより、完全に一般的に導出されます。

いくつかの注意事項があります。

• この結果は、古典的な枠組みで得られたサニャック効果の単純な研究で得られた結果と、一次まで（つまり小さな角速度を考慮して）同一です。これも実験的に得られた結果です。
• この結果は、高速では典型的な相対論的補正が存在することを示しています。
• R1 で放射速度が局所的に等方的であっても、信号が完全に回転した後、E は技術部分の関係によって与えられる時間ギャップに気づきます。これは、特殊相対性理論が回転座標系における光速度の異方性をモデル化できることを裏付けています。
• 信号の速度は得られる式には現れません。サニャック効果は信号の速度には依存せず (信号が等方性である場合)、ディスクの回転にのみ依存します。サニャック効果は普遍的です。これは特殊相対性理論によって予測され、実験的に確認されています。