導入
数学では、分割複素数は、 (通常の) 複素数と同様に定義された実数の拡張です。 2 つの主な違いは、複素数 (通常) の乗算が標準 (平方) ユークリッドノルムに従うことです。
- $$ {x^2 + y^2\,} $$の上$$ {\mathbb{R}^2\,} $$
一方、分割複素数の乗算では、ミンコフスキー ノルムまたはローレンツ ノルム(二乗) が尊重されます。
- $$ { x^2 – y^2 \,} $$
分割複素数には他にも多くの名前があります。以下の同義語セクションを参照してください。
ミンコフスキー内積を持つ実際の 2 次元ベクトル空間は、次元1+1 のミンコフスキー空間と呼ばれ、しばしば次のように表されます。
スプリットという名前は、( p , p ) 形式の署名が分割署名と呼ばれることに由来しています。つまり、分割複素数は複素数に似ていますが、分割署名が (1,1) である点が異なります。
意味
分割複素数の形式は次のとおりです。
- $$ {z = x + j.y\,} $$
ここで、 xとy は実数であり、量jは次のように定義されます (テッサリンを参照)。
- $$ {j^2 = +1\,} $$
これらすべてのZのセットは、分割複素平面と呼ばれます。分割複素数の加算と乗算は次のように定義されます。
- $$ {(x + j.y) + (u + j.v) = (x + u) + j.(y + v)\,} $$
- $$ {(x + j.y)(u + j.v) = (xu + yv) + j.(xv + yu)\,} $$
この乗算は、加算に関して可換的、結合的、および分配的です。
共役積、標準積、および内部積
複素数に関しては、分割複素共役の概念を定義できます。もし
- $$ {z = x + j.y\,} $$、
zの共役は次のように定義されます。
- $$ {z^* = x – j.y\,} $$。
この共役は、通常の複素共役と同様の特性を満たします。
- $$ {(z + w)^* = z^* + w^*\,} $$
- $$ {(zw)^* = z^*w^*\,} $$
- $$ {(z^*)^* = z\,} $$
これら 3 つの性質は、分割複素共役が次数 2 の自己同型であることを意味します。
分割複素数の二乗ノルム(または二次形式)
- $$ {\lVert z \rVert = z z^* = z^* z = x^2 – y^2\,} $$。
このノルムは明確に定義されているのではなく、指標 (1,1) を持っています。このノルムの重要な特性は、分割複素乗算によって保存されることです。
- $$ {\lVert z w \rVert = \lVert z \rVert \lVert w \rVert } $$
関連する内積 (1,1) は次のように与えられます。
または
- $$ { \lVert z \rVert = \langle z, z \rangle } $$
< z , w > = 0 の場合、分割複素数zとw は双曲線直交であると言われます。
分割複素数は、そのノルムがゼロと異なる場合にのみ可逆です (
- $$ { z^{-1} = z^* / \lVert z \rVert } $$
可逆でない分割複素数はゼロ要素と呼ばれます。これらはすべてフォームです
斜めのベース
次のような自明ではない冪等要素が 2 つあります。
- $$ {\lVert e \rVert = \lVert e^* \rVert = e^* e = 0 } $$
多くの場合、分割複素平面の代替基準としてeとe * を使用すると便利です。このベースは、対角ベースまたはゼロベースと呼ばれます。分割複素数z はゼロ基で次のように書くことができます。
- $$ {z = x + j.y = (x – y)e + (x + y)e^*\,} $$
番号をメモしておくと
- $$ {z = ae + be^*\,} $$実数aとb を( a , b ) とすると、分割複素乗算は次のようになります。
- $$ {(a_1,b_1)(a_2,b_2) = (a_1a_2,b_1b_2)\,} $$。
この基礎では、分割複素数が直接和と同型であることが明らかになります。
対角基底における分割複素共役は次のように与えられます。
- $$ {(a,b)^* = (b,a)\,} $$
そして標準による
- $$ {\lVert (a,b) \rVert = ab } $$
