つながり (数学)について詳しく解説

導入

接続性は、「一体のオブジェクト」という概念を形式化したトポロジーの概念です。オブジェクトが単一の「部分」で構成されている場合、そのオブジェクトは接続されていると言われます。そうでない場合、各部分は調査対象のオブジェクトの接続されたコンポーネントです。

意味

位相空間Eを考えます。次の 4 つの命題は同等です。

• E は、2 つの素な空でないオープン スペースの結合ではありません。
• E は、2 つの素で空でない閉じたオブジェクトの結合ではありません。
• Eには、 voidおよびEとは異なる開いた部分集合と閉じた部分集合の両方が存在しません。
• 離散トポロジーで提供される 2 つの要素を含むセット内のEの連続適用は一定です。

多くの場合、この最後の特性評価は、接続結果を示すために使用するのが最も便利です。

これらの条件が満たされる場合、空間Eは接続されていると言います。

位相空間Eの部分Xに誘導トポロジーが与えられたとき、それが接続空間である場合、その部分 Xは接続されていると言われます。

プロパティ

結合、交差、接着

XとY が位相空間Eの 2 つの接続された部分である場合、一般にXとYの和集合と交差部分は接続されません。

一方、関連する 2 つの部分の結合は、共通点がある場合に接続されます。より一般的に言えば、

は、それぞれが次の部分と共通点を持つ、関連する部分のシーケンスです。 それから会議関係がある。

別の一般化:家族の再会

Eの接続された部分の交差部分が空でない場合、それらの部分は接続されます。応用例：円弧で繋がった部分であれば全て接続されます。

もし

が接続されている場合、任意の部品B が次のようになります。 接続されています（当社指定） Aの接着力、つまりこの場合は接続されています)。

関連コンポーネント

点を与えると

位相空間でを含むすべての関連部品の会議関係がある。これは、関連するすべての部分の中で (包含関係という意味で) 最大のものです。 。留意しますこれを接続コンポーネントと呼びますで 。関連コンポーネントは閉じたパーツです。

少なくとも、 C _x = { x }になります。これは、 { x } がx を含むEの唯一接続された部分集合であることを意味しますが、必ずしもx が孤立点であるとは限りません (例を参照)。この性質がすべてのxに対して真である場合、空間は完全に不連続であると言えます。最大で、 C _x = Eになります。これはEが接続されている場合です。

次の方法でEの同値関係を定義します。x とy は次の場合にのみ接続されると言います。

。この関係は次と同等です 。この関係の同値クラスはEの連結成分です。したがって、あらゆる位相空間は、包含される最大の接続部分の素結合に分解されます (空間が接続されている場合、存在するのは 1 つだけです!)。

例:

• $$ {\R^* \,} $$
  2 つの関連コンポーネントがあります。
  $$ {\R_+^* \,} $$
  そして
  $$ {\R_{-}^* \,} $$
  。
• で
  $$ {\N \,} $$
  そして、より一般的には、離散トポロジーを備えた空間では、接続されたコンポーネントはシングルトンです。
• で
  $$ {\mathbb{Q} \,} $$
  孤立した点はありませんが、接続されたコンポーネントもシングルトンです。カントール集合でも同じ現象が起こります。
• グループ
  $$ {Gl(n,\mathbb{R})} $$
  サイズnの可逆行列には、行列式の符号によって与えられる2 つの連結成分があります。

つながりと継続性

この定義によれば、空間Ｅは、離散的なトポロジーを備えた２つの要素により、連続写像によるＥの像が決して集合にならないときに接続される。しかし、そのようなペアは接続されていません。

実際、連続した地図でつながった空間のイメージは常につながっていることをより一般的に示すことができます。より正確に言えば、

つながった空間なので、 位相空間と継続的なアプリケーションの場合、 に関連する部分です 。

これは中間値定理の一般化であり、次の場合に対応します。

の間隔ですそしてどこで 。