ベルヌーイのレムニスケートは平面曲線です。スイスの数学者で物理学者のジャック・ベルヌーイにちなんで命名されました。
焦点FおよびF’を持つベルヌーイ レムニスケートは、次の関係を検証する点Mのセットです。
- $$ {MF \times MF’ = OF^2} $$。
この曲線はレムニスケート ファミリーの一部であり、その中で最もよく知られた例であり、特性が最も豊富です。その定義としては、これはカッシーニ楕円形の最も注目すべき例です。また、内部接平面による特定のトーラスの断面も表します。
さまざまな座標系での式
OF = aと設定します。極座標では、ベルヌーイのレムニスケートは次の方程式を持ちます。
- $$ {\rho^2 = a^2 \times \cos{2\theta}} $$
デカルト座標では、2 つの方程式のいずれかで説明できます。
- またはxとyに従って:
- $$ {\left(x^2 + y^2\right)^2 = 2a^2 \times \left(x^2 – y^2\right)} $$
- またはxの関数として:
- $$ {y = \pm\sqrt{\frac{-(2x^2 + 2a) + \sqrt{16ax^2 + 4a^2}}{2}}} $$
無限大の記号？
ベルヌーイのレムニスケートは、多くの場合、無限に続く曲線として考えられます。レムニスケートのこの特徴は、無限の記号の起源となります。
$$ {\infty} $$
しかし、別のバージョンはこの仮説に矛盾し、シンボルの発明です。 $$ {\infty} $$
ベルヌーイと同時代の数学者ジョン・ウォリスによるものであると考えられています。