ニュートンの二項式は、二項式の整数べき乗の展開を求めるためにアイザック ニュートンによって与えられた数式です。これは、ニュートンの二項公式、またはより単純に二項公式とも呼ばれます。
声明
リング上で定義された項xとy ( xy=yxなど) と自然数nで構成される二項式を考えます。
- $$ {(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k} $$
ここで数字は
- $$ {{n \choose k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}} $$
(時々注意されることもあります)
$$ {C_n^k} $$
) は二項係数です。式のy を-yに置き換えると、2 番目の項が負の値として扱われます。
- $$ {(x-y)^n=\Big(x+(-y)\Big)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} (-y)^k} $$
例 ：
- $$ {n=2~,\qquad(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\,} $$
- $$ {n=3~,\qquad(x – y)^3 = x^3 – 3x^2y + 3xy^2 – y^3\,} $$
- $$ {n=4~,\qquad(x + y)^4 = x^4 + 4x^3y + 6x^2y^2 + 4xy^3 + y^4\,} $$
デモンストレーション
x 、 y をxy=yxとなるような環の要素とし、 n を自然数とします。
- $$ {(x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k} $$
この公式を帰納法で証明しましょう。
初期化
- $$ {n=0~,\qquad(x+y)^0=1={0 \choose 0}x^0y^0} $$
- $$ {n=1~,\qquad(x+y)^1= x + y ={1 \choose 0}x^1y^0 + {1 \choose 1}x^0y^1} $$
遺伝
n を1 以上の整数とし、この関係がnに真である場合、 n+1にも真であることを示します。
再発仮説により、次のようになります。
- $$ {(x+y)^{n+1}=(x+y)\cdot\sum_{k=0}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k,} $$
の分配性により、
$$ {\cdot} $$
+で: - $$ {(x+y)^{n+1}=x^{n+1}+x\cdot\sum_{k=1}^n {n \choose k} x^{n-k} y^k +y\cdot\sum_{k=0}^{n-1} {n \choose k} x^{n-k} y^k + y^{n+1}} $$
因数分解すると次のようになります。
- $$ {(x+y)^{n+1} =x^{n+1}+\sum_{k=1}^n \left\lbrack {{n} \choose {k}} + {{n} \choose {k-1}} \right\rbrack x^{n-k+1} y^{k}+ y^{n+1}} $$
パスカルの三角公式を使用すると、次のようになります。
- $$ {(x+y)^{n+1} =x^{n+1}+\sum_{k=1}^n {{n+1}\choose k}~x^{n-k+1} y^{k}+y^{n+1}} $$
これでデモンストレーションは終了です。
