ウルトラプロダクト – 定義

導入

数学では、ウルトラ積は主に抽象代数とモデル理論 (数理論理学の分野) で使用される構造です。たとえば、これらと同じ特性を持つ実数の拡張、超実数を取得することができます。

意味

ウルトラ積を構築する一般的な方法は、インデックスIのセット、 Iの各要素_iの構造体Mi (すべて同じ署名を持つ)、およびI上のウルトラフィルターUから始まります。通常の選択は、 I を無限とし、 U を非自明にすること、つまりIの有限部分を含まないことです (そうでない場合、超積はその因数の 1 つと同型になります)。

デカルト積の代数演算

$$ {\prod_{i \in I} M_i } $$

は通常の方法で定義され (たとえば、(2 値) 演算 +、( a + b ) _i = a _i + b _i )、次の場合に限り、 a ~ bによる演算と互換性のある同値関係を定義します。

$$ {\left\{ i \in I: a_i = b_i \right\}\in U.} $$

次に、この族の超積( Uに関する) は、商構造を備えた、この同値関係のデカルト積の商集合です (つまり、その要素は積の同値クラスです)。だからこそ注目されることもある

$$ {\prod_{i\in I}M_i / U . } $$

A ∈ Uの場合はm ( A ) = 1、それ以外の場合はm ( A ) = 0 と設定することで、インデックスのセットに対して尺度m (有限加法) を定義できます。デカルト積の 2 つの要素は、インデックスのセットのほぼどこでも等しい場合、等価です。

代数演算のほかに、関係も同じ方法で拡張できます: R ([ a ¹ ],…,[ a ⁿ ]) if and Only if

$$ {\left\{ i \in I: R^{M_i}(a^1_i,\dots,a^n_i) \right\}\in U,} $$

ここで、[ a ] は関係 ~ に対するaの同値クラスを指定します。たとえば、すべてのMiが順序付けされたボディで_ある場合、ultraproduct についても同じことが当てはまります。

ウルトラパワーは、すべての係数M _iが等しいウルトラ積です。

$$ {M^\kappa/U=\prod_{\alpha<\kappa}M/U.\,} $$

より一般的には、 U がXに対するフィルターのみである場合、前の構築は引き続き実行できます。結果として得られる構造

を還元品といいます。

ウォシュの定理

Łoś の定理は、基本超積定理と呼ばれることもありますが、 Jerzy Łoś (発音: ˈwɔɕ 、およそouosh ) によるものです。これは、式がM _iで真となるようなインデックスiのセットがUの要素である場合に限り、ultraproduct であらゆる 1 次式が真であると主張します。より正確には:

σ を署名、 U をセットI上の限外フィルター、およびそれぞれについて

M _{i を}σ構造とする。 M をUに関する_Miの超積とする、つまり次のようになります。

だから、すべてについて

、 または 、および各 σ 式φについて

もし、そしてその場合に限り

$$ { \{ i \in I : M_{i} \models \phi[a^1_{i}, \ldots, a^n_{i} ] \} \in U. } $$

この定理は、式φの複雑さに関する帰納法によって証明されます。 Uが限外フィルター (単なるフィルターではない) であるという事実は、否定の場合を扱うために使用され、選択公理は存在量指定子の導入の公理に必要です。

例

R を構造Mの単項関係とし、 ^* M をMの超積とします。それで全体が

^* Mに類似した^* Sがあり ( ^* S は、 R x _{i が}ほぼすべてのiに対して真となるようなシーケンス (x _i ) のセット (同値クラス) です)、ゲームSに組み込まれた一次公式は依然として真です用^・S。たとえば、 M を実数、 Rx を「 xは有理数である」という関係とします。この場合、 Mでは、有理xとyの任意のペアに対して、 x < z < yである非有理z が存在することがわかります。これは一次言語に翻訳できます。Łoś の定理は^* Sが同じ性質を持つこと、つまり超有理を定義でき、2 つの超有理の間には非超有理超現実が常に存在することを意味します。一方、アルキメデスの公理 (この無限のすべての不等式に対して、 x > 1、 x > 1 +1、 x > 1 + 1 + 1、… となるような実数x は存在しないと言うのと同じです) list) は一次言語に翻訳できず、Łoś の定理は適用されません。また、超現実ω がこの形式ではアルキメデスの公理を満たさないことも上で見ました。一方、超整数^* N ( ωはその一部) の集合を定義すると、Łoś の定理により、すべての超整数より大きい超実数は存在しないことが保証されます。最後に、Łoś の定理のおかげで、たとえば、すべての超整数は偶数か奇数のいずれかであるということが依然として真実である場合、特定の超整数の場合を知ることは一般に不可能です。したがって、偶数の集合がUに属する場合に限り、 ω は偶数になります。