導入
有理数とは、数学において、2 つの相対的な整数の商として表現できる数値です。非整数の有理数 (分数と呼ばれることが多い) は、多くの場合、 a / bで表されます。ここで、 aとb は2 つの相対整数 ( bはゼロではありません) です。 aを分子、 bを分母と呼びます。
それぞれの有理数は、 1/2=2/4=3/6=などのように、無限に異なって書くことができます。しかし、 aとb が1 以外の公約数を持たない (互いに素である) 場合、特権形式が存在します。ゼロ以外のすべての有理数には、正の分母を持つそのような形式が 1 つだけあります。次に、既約分数について話します。
有理数の小数展開は、特定の小数点以下の桁以降は常に周期的になります (たとえば、有限 10 進表記の場合、ゼロを追加することで周期性が保証されます)。これはどの基地でも同じです。逆に、数値が少なくとも 1 つの基数で周期的な小数展開を持つ場合、その数値は有理数です。
有理数ではない実数を無理数と言います。有理数の集合はフィールドであり、次のように表されます。
- $$ { \mathbb{Q} = \left\{\frac{m}{n}\,|\, (m,n) \in \mathbb{Z}\times \mathbb{N}\setminus\{0\} \right\},} $$
または
10進展開
すべての実数と同様に、有理数では無制限の小数展開での表現が認められます。有理数の小数展開には、周期的であるという特殊性があります。つまり、継続的に繰り返される数字の有限シーケンスで構成されるサフィックスが存在します。このシーケンスは「無制限の 10 進数発展の期間」と呼ばれます。
実数の無制限の小数展開と有理数のフォルティオリは、「9」で構成される周期シーケンスで終わることを避ければ独特です。実際、後者の場合、「0」で構成されるピリオドで終わる同等の書き込みが存在し、さらに良いことに、同等の限定 10 進展開が存在します。
従来、アラビア数字で数値を10 進法で書くとき、必要に応じて周期列の下に水平バーを描きます。ピリオドの各桁の上にポイントを置くこともできますが、この表記法はあまり使用されません。
期間を示す場合は有理数を参照する必要があり、このため厳密に次のようになります。
- $$ {1 = 1,\underline{0}… = 0,\underline{9}… = 0,99999…} $$
- $$ {\frac{1}{3} = 0,\underline{3}… = \lim_{x\rightarrow +\infty} \left( \sum_{n=1}^{x} \frac{3}{10^n} \right)} $$
有理数の無制限の小数展開は周期的であり、逆に、周期的な小数展開を持つ数は常に有理数です。それにもかかわらず、この基準は数値の合理性を評価するのが困難です。 2 番目の基準は連分数によって与えられます。数が有理数であるのは、連分数への展開が有限である場合に限ります。この方法は、自然対数の底e と π の非合理性の最初の実証の起源となっています。
したがって、数値は
エジプト分数
任意の正の有理数は、自然数の個別の逆数の合計として表現できます。たとえば、次のようなものがあります。
- $$ {\frac{5}{7} = \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{21}.} $$
有理数の算術
2 つの有理数a / bとc / d は、 ad = bcの場合にのみ等しくなります。
加算は次のように与えられます。
- $$ {\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}.} $$
乗算:
- $$ {\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}.} $$
その反対とその逆
- $$ { – \left( \frac{a}{b} \right) = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b} \quad\mbox{et}\quad \left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a} \mbox{ si } a \neq 0. } $$
商は次の式で与えられると推測します。
- $$ {\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc}.} $$
