この記事の目的は、一方では複素数の簡単な構築を示し、他方ではそれが実際に代数的に閉じた体であることを、場合によってはもう少し複雑に示すことです。
価値のある身体としての定義
単純な本体であるため、複合体を定義するのは簡単です。これはルートの追加による代数拡張の概念を必要とします。
Xのクラスはi で示されます (電気分野などでは、物理学者がj を使用することを好み、文字i を強度のために予約しておきます)。必要に応じて、関係i 2 = − 1を検証します。
これは、次元2の実数の拡張を定義します (したがって、 a + b i の形式で任意の複素数を一意に書くことができます。ここで、 aとbは実数です)。この文脈では、最も自然な代数拡張ノルムをそれに提供します。
$$ {|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}} $$
。それは実数のそれを十分に拡張し、有限次元のベクトル空間として拡張します。 $$ {\mathbb{R}} $$
、スペースがいっぱいです。
代数閉包の実証
正則関数とリウヴィルの定理による
私たちは不条理を推論します。Pを複素体に根を持たない非定数多項式とする。次に、その逆を定義できます
$$ {Q:= \frac{1}{P}} $$
の上$$ {\mathbb{C}} $$
全体。 Q は、任意の点の近傍で系列全体として展開できるため、正則です。さらに、係数では、 z が無限大になる傾向があるのと同様に、 P ( z ) も無限大になる傾向があり、したがってQ ( z ) は無限大でゼロになる傾向があります。 Q は連続であるため、次のように制限されます。 $$ {\mathbb{C}} $$
全体。正則であるため、リウヴィルの定理により定数です。矛盾。