導入
断熱定理は量子力学における重要な概念です。 1928 年にマックス ボーンとウラジミール フォックによって述べられたその元の形式は、次のように述べられます。
- 物理システムは、与えられた外乱が十分にゆっくりと作用し、固有値とハミルトニアンスペクトルの残りの部分の間に大きな間隔がある場合、その瞬間の固有状態に維持されます。
この定式化からは、断熱定理が実際には非常に直感的な概念であることはすぐには理解できないかもしれません。簡単に言うと、徐々に変化する外部条件にさらされる量子システムはその関数形式を適応させることができますが、急速な変化の場合には適応が起こる時間がないため、確率密度は変化しません。
この一見単純な結果の結果は数多く、多様で、非常に微妙です。この記事では、厳密な分析を開始する前に、定性的な説明から始め、次にいくつかの例を示します。最後に、断熱計算に使用されるいくつかの手法を紹介します。
断熱プロセスと断熱プロセス
量子の定義
断熱プロセスとは、急速に変化する (外部) 条件によりシステムがその過程で構成を適応できなくなり、確率密度が変化しないプロセスです。通常、初期状態と同じ関数形式を持つ最終ハミルトニアンの固有状態は存在しません。システムは最終的に状態の線形結合になり、その和が初期確率密度を再現します。
断熱プロセスとは、（外部）条件によってシステムが適応できるようになり、その結果確率密度が変化するプロセスです。システムが最初に出発ハミルトニアンの固有状態にある場合、最終的には到着ハミルトニアンの「対応する」固有状態になります。
理論的な微分
初めて
$$ {\scriptstyle{t_0}} $$
量子系はハミルトニアンによって与えられるエネルギーを持っています$$ {\scriptstyle{\hat{H}(t_0)}} $$
;システムはクリーンな状態にあります$$ {\scriptstyle{\hat{H}(t_0)}} $$
によって説明されました$$ {\scriptstyle{\psi(x,t_0)}} $$
。条件を変更するとハミルトニアンが継続的に変更され、最終的なハミルトニアンが得られます。 $$ {\scriptstyle{\hat{H}(t_1)}} $$
一度に$$ {\scriptstyle{t_1}} $$
。システムは最終状態に到達するために、シュレディンガー方程式に従って進化します。 $$ {\scriptstyle{\psi(x,t_1)}} $$
。断熱定理は、システムの変更は時間に大きく依存すると述べています。 $$ {\scriptstyle{\tau = t_1 – t_0}} $$
その間にそれは起こります。真の断熱プロセスの場合、次を使用します。
$$ {\scriptstyle{\tau \rightarrow \infty}} $$
;この場合、最終状態は$$ {\scriptstyle{\psi(x,t_1)}} $$
最終ハミルトニアンの固有状態です$$ {\scriptstyle{\hat{H}(t_1)}} $$
の構成を変更すると、次のようになります。 - $$ {|\psi(x,t_1)|^2 \neq |\psi(x,t_0)|^2} $$。
与えられた変化が断熱プロセスにどの程度近づくかは、エネルギー間のエネルギー的分離の両方に依存します。
$$ {\scriptstyle{\psi(x,t_0)}} $$
と隣接する状態とその間隔の関係$$ {\scriptstyle{\tau}} $$
の進化に特徴的な時間スケールで$$ {\scriptstyle{\psi(x,t_0)}} $$
時間に依存しないハミルトニアンの場合、 $$ {\scriptstyle{\tau_{int} = 2\pi\hbar/E_0}} $$
、 または$$ {\scriptstyle{E_0}} $$
のエネルギーです$$ {\scriptstyle{\psi(x,t_0)}} $$
。逆に言うと限度内で
$$ {\scriptstyle{\tau \rightarrow 0}} $$
私たちは無限に速い、または非断熱的な通過をしています。状態の構成は変更されません。 - $$ {|\psi(x,t_1)|^2 = |\psi(x,t_0)|^2\quad} $$。
上記のボーンとフォックの元の定義に含まれるいわゆる「ギャップ」条件は、次の条件を指します。
$$ {\scriptstyle{\hat{H}}} $$
は離散的で非縮退です。つまり、状態の順序に曖昧さはありません (どの固有状態を簡単に確立できます) $$ {\scriptstyle{\hat{H}(t_1)}} $$
に対応する$$ {\scriptstyle{\psi(t_0)}} $$
）。 1990 年、JE Avron と A. Elgart は断熱定理を再定式化し、ギャップ条件を排除しました。断熱という用語は、熱力学において、システムとその環境の間で熱交換を行わないプロセスを表すために伝統的に使用されています (断熱性を参照)。量子の定義は準静的変換の熱力学の概念に近く、熱交換とは直接の関係はありません。これら 2 つの異なる定義は、特に両方の概念 (熱交換と十分に遅いプロセス) が特定の問題に存在する場合に混乱を招く可能性があります。
