導入
幾何学において、アルキメデスの立体とは、同一の頂点で交わる 2 種類 (またはそれ以上) の正多角形で構成される、半正則で対称性の高い凸多面体です。これらは、同一の頂点で交わる単一種類の多角形で構成されるプラトン立体や、正多角形の面が同一の頂点で交わらないジョンソン立体とは異なります。アルキメデス立体の対称性では、二面体群、プリズム、および反プリズムのメンバーは除外されます。
アルキメデスの立体はすべて、四面体、八面体、二十面体の対称性を持つプラトン立体からワイソフ構築によって構築できます。凸一様多面体 を参照してください。
名前の由来
アルキメデス立体の名前は、現在は失われている研究でそれを研究したギリシャの数学者アルキメデスに由来しています。ルネッサンス時代、芸術家や数学者は純粋な形を評価し、これらすべての形を再発見しました。この研究は、1619 年頃にヨハネス ケプラーによって完了されました。彼はプリズム、反プリズム、およびケプラー ポインソ固体として知られる通常の非凸固体を定義しました。
分類
アルキメデスの立体は 13 個あります (2 つの鏡像固体のキラル (鏡) 像を数えると 15 個になります (以下を参照)。ここで、頂点の構成とは、任意の頂点で交わる正多角形のタイプを指します (たとえば、シュレーフリ記号) 、(4,6,8) の頂点構成は、正方形、六角形、および八角形が頂点で交わることを意味します (順番は上から時計回り)。
| 名前 | 固体 | 顔 | エッジ | サミット | 頂点の構成 | 対称グループ | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 切頭四面体 |  | 8 | 4つの三角形 4つの六角形 | 18 | 12 | 3,6,6 | T d |
| 切り取られた立方体 または切頭六面体 |  | 14 | 8つの三角形 6つの八角形 | 36 | 24 | 3,8,8 | おお |
| 切頂八面体 |  | 14 | 6マス 8つの六角形 | 36 | 24 | 4,6,6 | おお |
| 切頭十二面体 |  | 32 | 三角形 20 個 12 十角形 | 90 | 60 | 3,10,10 | 私は |
| 切頂二十面体 またはバッキーボール またはサッカーボール |  | 32 | 12 の五角形 20 六角形 | 90 | 60 | 5、6、6 | 私は |
| 立方八面体 |  | 14 | 8つの三角形 6マス | 24 | 12 | 3,4,3,4 | おお |
| 柔らかくなった立方体 (2つのキラル体) |   | 38 | 32 個の三角形 6マス | 60 | 24 | 3,3,3,3,4 | ○ |
| 二十面体 |  | 32 | 三角形 20 個 12 の五角形 | 60 | 30 | 3,5,3,5 | 私は |
| 柔らかくなった十二面体 (2つのキラル体) | | 92 | 80個の三角形 12 の五角形 | 150 | 60 | 3,3,3,3,5 | 私 |
| 小さな菱形立方体 | 26 | 8つの三角形 18マス | 48 | 24 | 3,4,4,4 | おお | |
| 切頂立方八面体 | 26 | 12マス 8つの六角形 6つの八角形 | 72 | 48 | 4、6、8 | おお | |
| 小さな菱形十二面体 または菱形十二面体 | 62 | 三角形 20 個 30マス 12 の五角形 | 120 | 60 | 3、4、5、4 | 私は | |
| 切頂二十面体 | 62 | 30マス 20 六角形 12 十角形 | 180 | 120 | 4、6、10 | 私は | |
立方八面体と二十面体は均一なエッジを持ち、準正則と呼ばれています。
軟化立方体と軟化十二面体はキラルであり、2 つの形式 (レボモルフとデキストロモルフ) があります。物体が3次元で互いに鏡像である複数の形状を持つ場合、これらの形状はエナンチオモルフと呼ばれます。 (この命名法は化合物の形態にも使用されます。エナンチオマーを参照)。
アルキメデス立体の双対体はカタロニア立体と呼ばれます。両錐体や台形面体と同様に、これらは規則的な頂点を持つ均一面の立体です。