対数ロジスティック法則 – 定義

導入

丸太物流
凡例のα = 1およびβの場合
凡例ではα = 1およびβ
設定	α > 0スケール β > 0 の形式
サポート	$$ {x\in[0,\infty)} $$
確率密度(質量関数)	$$ { \frac{ (\beta/\alpha)(x/\alpha)^{\beta-1} } { \left[ 1+(x/\alpha)^{\beta} \right]^2 }} $$
分布関数	$$ {{ 1 \over 1+(x/\alpha)^{-\beta} }} $$
希望	$$ {{\alpha\,\pi/\beta \over \sin(\pi/\beta)}} $$ β > 1の場合、それ以外の場合は定義されない
中央値（中央）	$$ {\alpha\,} $$
ファッション	$$ {\alpha\left(\frac{\beta-1}{\beta+1}\right)^{1/\beta}} $$ β > 1の場合、それ以外の場合は 0
分散

確率理論と統計学では、対数ロジスティック法則(経済学ではフィスク分布としても知られています) は、非負の確率変数の連続確率法則です。これは、診断または治療後のがんによる死亡率など、強度が最初に増加し、その後減少するイベントの寿命を研究する際に使用されます。また、水文学では川の流れや降水量のレベルをモデル化するために使用され、経済学では所得格差をモデル化するために使用されます。

対数ロジスティック法則は、その対数がロジスティック法則に従って分布する確率変数の法則です。これは対数正規分布によく似ていますが、裾が太いことで区別されます。さらに、その分布関数は対数正規とは異なり、明示的な表現が可能です。

特徴

分布にはさまざまなパラメータ化があります。ここで選択したものにより、パラメーターの合理的な解釈が可能になり、分布関数の式が簡略化されます。パラメータα>0 はスケール パラメータであり、分布の中央値の役割も果たします。パラメータβ＞０は形状パラメータである。 β > 1の場合、分布は単峰性となり、 β が増加すると分散は減少します。

分布関数は

$$ {\begin{align} F(x; \alpha, \beta) & = { 1 \over 1+(x/\alpha)^{-\beta} } \\ & = {(x/\alpha)^\beta \over 1+(x/\alpha)^ \beta } \\ & = {x^\beta \over \alpha^\beta+x^\beta} \end{align}} $$

ここで、 x > 0 、 α > 0 、 β > 0 です。

確率密度は

$$ {f(x; \alpha, \beta) = \frac{ (\beta/\alpha)(x/\alpha)^{-\beta-1} } { \left[ 1+(x/\alpha)^{-\beta} \right]^2 }.} $$

アプリケーション

ハザード機能。 α = 1、凡例に示すβの値

生存分析

対数ロジスティック分布は、生存 (寿命) 分析のためのパラメトリック モデルを提供します。通常のワイブル分布とは異なり、この密度では非単調なリスク (失敗) 関数が可能になります。つまり、 β > 1 の場合、リスク関数は単峰性になります ( β ≤ 1 の場合、リスクは単調に減少します)。分布関数の明示的な式があることは、切り捨てられた(または打ち切られた) データを使用した生存分析にとって利点です。

生存機能というのは、

$$ {S(t) = 1 – F(t) = [1+(t/\alpha)^{\beta}]^{-1},\, } $$

そしてリスク関数は

$$ { h(t) = \frac{f(t)}{S(t)} = \frac{(\beta/\alpha)(x/\alpha)^{\beta-1}} {[1+(x/\alpha)^{\beta}]}.} $$

水文学

対数ロジスティック分布により、川の流れや降水量さえもモデル化することが可能になりました。

経済

対数ロジスティック分布を使用すると、経済学では、多くの場合、フィスク分布という名前で、所得の不平等を簡単にモデル化できます。そのジニ係数は1/βです。

プロパティ

瞬間

k番目のモーメントはk < β の場合にのみ存在し、次の式で与えられます。

$$ {\begin{align} \operatorname{E}(X^k) & = \alpha^k\,\operatorname{B}(1-k/\beta,\, 1+k/\beta) \\ & = \alpha^k\, {k\,\pi/\beta \over \sin(k\,\pi/\beta)} \end{align}} $$

ここで、B() はベータ関数です。数学的期待値、分散、歪度係数、および尖度係数の式は、前の式から取得されます。 b = π / βと設定すると、平均は次の形式になります。

$$ { \operatorname{E}(X) = \alpha b / \sin b , \quad \beta>1,} $$

そして分散は次のようになります

$$ { \operatorname{Var}(X) = \alpha^2 \left( 2b / \sin 2b -b^2 / \sin^2 b \right), \quad \beta>2.} $$

尖度と歪度を明示的に表現すると、再現に時間がかかります。 β が無限大になる傾向があるため、平均 (期待値) はαになる傾向があり、分散と歪度は両方とも 0 になる傾向があり、尖度は 6/5 になる傾向があります (以下も参照)。

分位数

分布関数の逆関数は次のように求められます。

$$ {F^{-1}(p;\alpha, \beta) = \alpha\left( \frac{p}{1-p} \right)^{1/\beta}.} $$

したがって、中央値はα 、最初の四分位は3 ^{1 / β} α 、最後の四分位は3 ^{− 1 / β} αとなります。