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集合の半環 – 定義

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導入

セットのセミリング(通常はsemiringと省略されます) は、セットのリングを簡単に構築できるセットXの部分のクラスです。これは、いくつかの古典的な測定構造を開始するのに便利なフレームワークです。

集合の半環 - 定義

意味

定義—集合の半環は集合です

$$ {\mathcal S} $$
以下を満たす集合Xの部分の部分:

  • 空集合は次の要素です
    $$ {\mathcal S} $$
    ;
  • すべてのA 、 B要素について
    $$ {\mathcal S} $$
    、セット差
    $$ {A\setminus B} $$
    の要素の素（有限）結合です。
    $$ {\mathcal S} $$
    ;
  • $$ {\mathcal S} $$
    は（有限）交差によって安定します。

さらに、集合X が次の要素であるとき、

$$ {\mathcal S} $$
、と言われています。
$$ {\mathcal S} $$
は集合の半代数です。

測定値をセミリングからリングに拡張する

半リングによって生成されるセットのリングは簡単に説明できます。

命題—半環を含む集合の最小の環

$$ {\mathcal{S}} $$
与えられた要素の有限結合の集合です。
$$ {\mathcal{S}} $$
。それはまた、次の要素の有限の素結合のセットでもあります。
$$ {\mathcal{S}} $$
。

続く拡張ステートメントでは、クラスの「測定」を意味します。

$$ {\mathcal{C}} $$
無効なアプリケーションを含む
$$ {\mathcal{C}} $$
に向かって
$$ {[0,+\infty]} $$
真空とσ加法ではゼロ。

命題—どちらか

$$ {\mathcal{S}} $$
半リングとμのメジャー
$$ {\mathcal{S}} $$
。この場合、 μ は1 つの拡張を許容し、によって生成された集合のリング上で定義された測度内で 1 つのみを許容します。
$$ {\mathcal{S}} $$
。

測定値の相加性と、によって生成されたリングの要素の説明を考慮すると、その独自性は明らかです。

$$ {\mathcal{S}} $$
: このリングの要素Aが書かれている場合は必ず
$$ {A_1\cup\cdots\cup A_n} $$
半環のA i要素の場合
$$ {\mathcal{S}} $$
、私たちは持っている必要があります
$$ {\mu(A)=\mu(A_1)+\cdots+ \mu(A_n)} $$
。存在については、この公式を拡張の定義として採用します。最初に、それが使用されるAの除算に依存しないことを確認してから、重大な障害に遭遇することなくメジャーを定義していることを確認します。

半環の代わりに半代数を使用したり、集合環の代わりに集合代数を使用した類似のステートメントも真であり、ここで与えられたステートメントからすぐに推測されます。どちらを使用するかは多くの場合無関心です。半代数に取り組むことは、σ-代数の測度を構築するという最終目的と一致しており、「リング」という追加の概念を導入する必要がなくなります。セミリングを扱うことにより、σ-加法性の初期検証を簡素化することができ、目的が σ-リングまたはδ-リングでの測定を構築することである場合にも十分に正当化されます。

集合の半環 - 定義

例

  • すべての間隔
    $$ {\R} $$
    は部分の半代数です
    $$ {\R} $$
    (2 つの間隔の設定差は、それらの相対位置に応じて、0、1、または 2 つの間隔の素の和集合として記述できます)。
  • 有界区間のセット
    $$ {\R} $$
    は半環ですが半代数ではありません。
  • 空の間隔のセット、または] a , b ] ( a < b ) の形式のセットは、前の間隔に含まれる半リングです。
  • 2 つの半環が与えられた場合
    $$ {\mathcal{S}_1} $$
    そして
    $$ {\mathcal{S}_2} $$
    セットX 1およびX 2のすべての積
    $$ {A_1\times A_2} $$
    、
    $$ {A_i\in \mathcal{S}_i} $$
    製品上のセミリングです
    $$ {X_1\times X_2.} $$
    X 1とX 2が代数である場合でも、それは環ではない可能性があります (もちろん、その場合は半代数になります)。したがって、 n 個の有界区間の積の集合、または次の形式の積の集合
    $$ {]a_1,b_1]\times\cdots\times]a_n,b_n]} $$
    の一部の半環ですか？
    $$ {\R^n} $$
    。

セミリングの使用例

n次元空間上のルベーグ測度の構築

ルベーグ測度を構築する方法の 1 つ

$$ {\R^n} $$
これは、端がa iおよびb iで示される、境界のある間隔 (閉じた、開いた、または半開いた) の直線ブロックPの積を定義することで構成されます。体積は単に辺の長さの積です。

$$ {\mu(P)=\prod_{i=1}^n(b_i-a_i).} $$

次に、この定義をルベーグ可測集合のクラスに拡張します。

この構築は、最初に測度を有界区間のすべての和集合の集合のリングに拡張するために、明示的または暗黙的に上記の命題を呼び出すことから始まります。半環の関心はここで明らかに現れています。なぜなら、拡張の次の段階でカラテオドリの拡張定理によって補足された前のステートメントは、測度の σ 加加性が最終的には自分自身を制限できる σ 加加性チェックから得られることを示しているからです。タイルの操作に。

以下のドロップダウン ボックスにこの検証の詳細が表示されます。これは簡単ではなく、半リングの操作の例を示しています。


注意しましょう

$$ {\mathcal{S}} $$
有界区間積の半リングは、この半リング上のメジャーを定義します。

まず、 μ が次の意味で加法的であることを示します。

$$ {\mathcal{S}} $$
P は有限族( Pi )の素和集合であり、各P iも
$$ {\mathcal{S}} $$
、大きなブロックPの体積は、 P iの体積の合計です。

次に、 μ が尺度であること、つまり μ が σ 加法的であることを示さなければなりません。それを証明するために、次のブロックP要素を考えてみましょう。

$$ {\mathcal{S}} $$
、そして、次のタイルの可算な素結合としてPのパーティションがあると仮定します。
$$ {\mathcal{S}} $$
:

$$ {P=\bigcup_{i=1}^{+\infty}P_i} $$
。

等しいことを示さなければなりません:

$$ {\mu(P)=\sum_{i=1}^{+\infty}\mu(P_i)} $$
。

ある意味での不平等は、特に独創的なアイデアを必要としません。固定rの場合、その差は

$$ {P\setminus(P_1\cup\cdots\cup P_r)} $$
によって生成されたリング内にあります
$$ {\mathcal{S}} $$
したがって、 は要素F 1 ,…, F sの有限互いに素な和集合です。
$$ {\mathcal{S}} $$
。したがって、ブロックP は、1 からrまで変化するiに対するすべてのP i を含むブロックの有限互いに素な和集合です。 μの正性と加成性により、次の結果が得られます。

$$ {\sum_{i=1}^{r}\mu(P_i)\leq\mu(P)} $$
。

r を無限大に向かう傾向にすることにより、次の結論が得られます。

$$ {\sum_{i=1}^{+\infty}\mu(P_i)\leq\mu(P)} $$
。

逆不等式は、ルベーグ測度の規則性に関する位相幾何学的考察に基づいています。まず、 ε > 0を設定し、体積がμ( Pi ) + ε / 2 i以下である開区間のタイルQ i積に各P i を含めます。同様に、 Pに含まれ、その体積がμ( P ) − ε以上である閉区間のタイルQ積を考慮します。

Q パッドは閉じた境界としてコンパクトです。

$$ {\R^n} $$
そして開いたものはQ私がそれをカバーします。サブファミリーを抽出できます
$$ {(Q_{i})_{i\in I_0}} $$
これは常にそれをカバーしますが、インデックスの有限セットI 0でカバーします。

有限の加法性と半環上のμの正性による

$$ {\mathcal{S}} $$
、次の集合包含 (結合が素である理由がなく、半環の有限数の要素のみが介在する):

$$ {Q\subset\bigcup_{i\in I_0}Q_i} $$

不等式は次のようになります。

$$ {\mu(Q)\leq\sum_{i\in I_0}\mu(Q_i)} $$

そして要点:

$$ {\mu(Q)\leq\sum_{i=1}^{+\infty}\mu(Q_i)} $$

これは不等式の連鎖に組み込むことができます。

$$ {\mu(P)-\epsilon\leq\mu(Q)\leq\sum_{i=1}^{+\infty}\mu(Q_i)\leq\sum_{i=1}^{+\infty}(\mu(P_i)+{\epsilon\over2^i})=\sum_{i=1}^{+\infty}\mu(P_i)+\epsilon.} $$

残っているのは、 ε を0 に向かう傾向にして結論を​​導くことだけです。

集合の半環 - 定義

Stieltjes プロセスを使用した実数直線上の測定値の構築

実数直線上の局所的に有限な尺度は、上で説明したプロセスを一般化することによって構築できます。空の間隔の半リング、または] a , b ] ( a < b ) の形式を使用するのが適切です。

増加する機能については、

$$ {\R} $$
に向かって
$$ {\R} $$
続けて右に進み、次のように設定してこの半リング上にメジャーを構築します。

μ(] a , b ]) = F ( b ) − F ( a )、

その範囲をボレリアの部族にまで拡張することが可能となる。

$$ {\R} $$
。確率測度の特定の場合、 F は測度の分布関数と呼ばれます。

この方法は、任意の有限次元に一般化します。

集合の半環 - 定義

参考資料

  1. Menge (Mathematik) – alémanique
  2. ስብስብ – amharique
  3. مجموعة (رياضيات) – arabe
  4. Conxuntu – asturien
  5. Çoxluqlar – azerbaïdjanais
  6. Күмәклек – bachkir

集合の半環 – 定義・関連動画

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