デカルト・オイラーの定理について詳しく解説

導入

1752 年にレオンハルトオイラーによって定式化されたデカルト-オイラーの定理(またはオイラーの関係式) は、種数 0 の多面体の辺、頂点、および面の数を関係付ける数式を述べています。種数 0 の多面体は、種数 0 の多面体です。穴: 面を削除すると、単純に接続された表面が得られます。凸多面体は種数 0 です。

しかし、デカルトは未発表の論文で類似の関係を証明したようです。これが、この関係がこの二重名を持つ理由です。

声明

属数 0 の多面体を考えると、次のことに注意してください。

その面の数、
エッジの数があり、
s はその頂点の数、

常に次のことができることを証明できます。

$$ { s – a + f = 2 \,} $$

証拠

ここで提示された証明は、オイラー関係の最初の厳密な証明です。当時20歳だったコーシーから贈られたものです。

属数 0 の多面体が与えられた場合、次のことを証明しようとします。

$$ { f – a + s = 2 \,} $$

これでは。多面体から面を削除します。この欠けた面の辺を外側に移動することにより、多面体を平らにして変形し、頂点を節点、変形した辺を円弧とする平面グラフを取得します（この変形を同型写像と呼びます）。頂点、エッジ、および面の数は、開始時の多面体と比較して変化していません (グラフの外側全体が削除された面を表すことを考慮します)。

キューブのデモンストレーションの最初のステップ

さて、3 つ以上の辺を持つ面を見るたびに、対角線(つまり、直接接続されていない 2 つの頂点を結ぶ円弧)を描きます。この操作はグラフに面とエッジを追加しますが、頂点の数は変更されません。したがって、式は

$$ { f – a + s\,} $$

は変わらないままです。三角形の面だけが残るまでこの操作を繰り返します。

この段階では、次の 2 つの操作を繰り返します。

グラフの外側の境界に片側「のみ」を持つすべての三角形を 1 つずつ削除します。削除ごとに、エッジと面が削除されます (頂点レベルでの変更はありません)。したがって、これにより式が保存されます
$$ { f – a + s\,} $$
。
グラフの外側の境界に「2 つの」エッジを持つすべての三角形を 1 つずつ削除します。削除するたびに、頂点、2 つのエッジ、および面が削除されます。したがって、これでも式が保存されます
$$ { f – a + s\,} $$
。

前の 2 つの手順を順番に繰り返すと、最終的に 1 つの三角形だけが残ります。この三角形だけでも、2 つの面 (三角形の内側と外側)、3 つの辺、3 つの頂点があります。したがって、 f = 2 、 a = 3 、およびs = 3なので、

$$ { f – a + s \,} $$

は 2 に等しい。この式は次の式と等しい。

$$ { f – a + s \,} $$

各ステップがこの式の等価性を維持しているため、元の状態になります。出発多面体が式を検証したと結論付けます。

$$ { f – a + s = 2 \,} $$

。したがって、関係が証明されます。