導入
数学、より正確には有限群の表現理論の文脈では、フロベニウスの相反性公式は、有限群GとGの部分群Hの 2 つの中心関数間の関係を確立します。
χ 1 がHの文字である場合、 Ind (χ 1 ) は一般に誘導表現の文字を指定します。逆に、χ 2 がGの文字である場合、 Res (χ 2 はHへの文字の制限です。< | > が中心関数空間のエルミート形式を表す場合、フロベニウスの相反公式は次の等式を表します。
この公式の名前は、1898 年にこの公式の精度を初めて確立したフェルディナンド ゲオルク フロベニウスに由来しています。
声明
G を有限群、 H をGの部分群、 K を標数 0 または群Gの位数であるgと素数の可換体とする。 K が有限の特性を持つ場合、それは代数的です。すべての場合において、多項式X g – 1 はKで分割されます。 ( W , θ) をフィールドK 、 Ind (θ) またはInd H上のHの表現とします。 G (θ) は ( W , θ) によるGの誘導表現を表し、ψ は θ の性質を表します。 ( V , ρ) を体K上のGの表現とします。この表現のHへの制限は、 Res (ρ) またはRes H G (ρ) およびその文字 χ で示されます。中心関数の正準双一次形式は、その正確な定義は文字に関する段落で示されており、< | で示されます。 > Hまたは < | > G は使用するグループに応じて異なります。これらの表記法は記事全体に有効で、フロベニウスの相反性公式と呼ばれる次の特性を表現することができます。
- 次の 2 つのスカラーは等しいです。
次の方法で、関数Ind H G をHの中心関数のベクトル空間に一般化することができます。
- f をKの値を持つHの中心関数とし、 C を左側のクラスの代表系とすると、関数Ind H G ( f )は次のように定義されます。
この定義により、フロベニウスの相反性公式を一般化することができます。
- f を Hの中心関数、 g を Gの中心関数とすると、次の等式が検証されます。
このプロパティを表現する別の方法は次のとおりです。
- Ind H G アプリケーションはRes H Gの代理です。
デモンストレーション
キャラクター
前述の表記を使用すると、次のようになります。
- s が Gの要素である場合、ψ は θ の文字、 H の表現、 C は共役クラスの代表系 (つまり、各クラスの代表)、 h は Hの次数を表し、文字の値を表します。 Gの点 t における χ は次の式で与えられます。
ρ tの行列を各 ρ t Wに対応するブロック行列として考えると、対角線上のブロックのみがトレースを変更することがわかります。 ρ c Wがρ tによって安定するような要素cのCの部分集合をC tによって表すことにします。つまり、それらは対角線のブロック行列に対応します。次に、Tr がトレースを表す場合、次の式を取得します。
c -1 tがHの要素である場合に限り、 cはC tの要素であることがわかります。したがって、次のようになります。
これは最初の式を示しています。 2 番目の場合、 C tの要素の左側にあるクラスのすべての代表が θ( s -1 ts ) の形式の準同型行列を持ち、そのトレースが ψ( s -1 ts ) に等しいことに注意するだけで十分です。 。
次の方法で、関数Ind H G をHの中心関数のベクトル空間に一般化することができます。
- f をKの値を持つHの中心関数とし、 C を左側のクラスの代表系とすると、関数Ind H G ( f )は次のように定義されます。
この定義により、フロベニウスの相反性公式を一般化することが可能になります。
フロベニウスの相反性
次に、フロベニウスの相反性の公式を証明しましょう。
- f を Hの中心関数、 g を Gの中心関数とすると、次の等価性が検証されます。
表現の文字は中心関数の空間の基礎となるので、その文字の式を証明すれば十分です。 Gモジュールに関しては、式は次のようになります。
- W を Hモジュール、 V を G モジュールとすると、次の式が検証されます。
この命題を実証するために、 Hom H ( W , Res V) とHom G (Ind W , V ) が同型であることに注意してください(記事「有限群の誘導表現」のドロップダウン ボックスの実証を参照)。それらの次元は次のとおりです。したがって等しい：
ただし、これらの次元は、さまざまな表現のスカラー積に正確に対応します(記事「有限群の代数」の「代数の中心」の段落を参照)。これで実証が完了します。