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発散 (数学)について詳しく解説

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ダイバージェンス演算子は、一次偏微分を伴う線形微分演算子であり、特に保存則を表すために物理学でよく使用されます。これはベクトル場をスカラー場 (つまり関数) に変換し、より一般的には次数kのテンソル場を次数k − 1の場に変換します。

ベクトル場の発散

次元3および デカルト座標で、ベクトル場の発散を定義します。

$$ {\vec A} $$
関係によって

$$ {\mathrm{div}\vec A = \frac{\part{A_x}}{\part{x}}+\frac{\part{A_y}}{\part{y}}+\frac{\part{A_z}}{\part{z}}} $$

正式には、発散演算子はベクトル場に適用されます。

$$ {\vec A} $$
ベクトルnablaのスカラー積でもあります
$$ {\vec\nabla} $$
ベクトルによって
$$ {\vec A} $$
。

$$ {\vec\nabla \cdot \vec A = \mathrm{div}\vec A = \frac{\part{A_x}}{\part{x}}+\frac{\part{A_y}}{\part{y}}+\frac{\part{A_z}}{\part{z}}} $$

と言うのも同じことです

$$ {\mathrm{div}\vec A = \mathrm{Tr}(\mathrm D\vec A)} $$
。

ここ、フィールド

$$ {\vec A} $$
の応用とみなされます
$$ {\R^3} $$
自分自身の中で、そして
$$ {\mathrm D\vec A} $$
は微分を指定し、そこからトレース、つまりヤコビアン行列のトレースを取得します。

この最後のプレゼンテーションには、ベースの選択に依存しないという利点があります。上記はすべて次の場合にも有効です

$$ {\R^n} $$

例

もし
$$ {\textstyle\vec A=\sum_{i=1}^n A_i\frac{\partial}{\partial x_i}} $$
は線形場です。つまり、
$$ {\textstyle A_i=\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j} $$
、その発散は以下に等しい
$$ {\textstyle\sum_{i=1}^na_{ii}} $$
。これは、数値a i j (
$$ {1\le i,j\le n} $$
）。

乖離の解釈

発散は流れの観点から解釈されます。 Dが次のドメインの場合

$$ {\R^3} $$
エッジS 、の流れ
$$ {\vec A} $$
ストークスの定理によれば、 Sを通る値は発散のDにわたる積分に等しい。

関連する解釈は次のとおりです。 φ t を場の流れとする

$$ {\vec A} $$
(つまり、微分システムの解の時間tでの値
$$ {\frac{\mathrm du}{\mathrm dt}=\vec A\bigl(u(t)\bigr)} $$
これは0でのxの価値があります)

$$ {L_A(\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz)= \mathrm{div}\vec A(\mathrm dx\wedge\mathrm dy\wedge\mathrm dz)} $$

(リー微分演算子をL Aで指定します。詳細およびより一般的なステートメントについては、ラプラス ベルトラミ演算子を参照してください)。

特に、以下の流れは、

$$ {\vec A_,} $$
体積を節約します（つまり、
$$ {\mathrm{vol}\big(\phi_t(D)\big) =\mathrm{vol}(D)} $$
任意のドメインDについて)、どこでも発散がゼロである場合に限ります。発散が正の場合はボリュームが増加し、負の場合はボリュームが減少します。

より一般的には、発散は点の周りの体積 (または電荷) の微小な変化を説明し、流体力学の方程式またはマクスウェル方程式へのその介入を説明します。

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$$ {\mathrm{div}(\mathrm{rot}\vec A) =0} $$

この式は次元3に固有です。これは、回転場の発散がゼロであることを意味します。逆に、ベクトル場の場合、

$$ {\vec B} $$
の上
$$ {\R^3} $$
星がちりばめられたオープン
$$ {\R^3} $$
発散がゼロの場合、フィールドが存在します。
$$ {\vec A} $$
のような
$$ {\vec B=\vec{\mathrm{rot}}\vec A} $$
。 （その後、私たちはこう言います
$$ {\vec A} $$
はベクトルポテンシャルです）。この特性は、微分形式の観点から適切に解釈されると、ポアンカレの補題を直接適用できます。

注意。ニュートン場

$$ {\frac{\vec r}{r^3}} $$
発散はゼロですが、ベクトル場はありません
$$ {\vec A} $$
のような
$$ {\vec{\mathrm{rot}}\vec A=\frac{\vec r}{r^3}} $$
。実際、これが当てはまる場合、閉じた表面を通る光束はゼロになりますが、原点を中心とする球を通る光束は4πになります。実際、このフィールドは、スター オープンではない原点のプライベート空間でのみ定義されます。ポアンカレの補題は適用されません。

$$ {\mathrm{div}(f\vec A)=f\mathrm{div}(\vec A)+\nabla f\cdot \vec A} $$

ストークスの定理によれば、次の積分は

$$ {\R^n} $$
境界部分の外側のゼロベクトル場の発散はゼロです。したがって、 f が滑らかな関数である場合、
$$ {\vec A} $$
ベクトルのフィールド。境界部分の外側は両方ともゼロです (この条件により、積分が意味を持つことが保証されます)。

$$ {\int_{\R^n}f\mathrm{div} \vec A dx_1\cdots dx_n=\int_{\R^n}\nabla f\cdot \vec A dx_1\cdots dx_n} $$

このプロパティは次のように解釈されます。させて

$$ {C^\infty(\R^n)} $$
そして
$$ {\mathrm{Vect(\R^n)}} $$
それぞれ、スムーズ関数のベクトル空間とベクトル場の
$$ {\R^n} $$
。私たちは彼らにスカラー製品を提供します

$$ {\langle f,g\rangle :=\int_{\R^n}fg A dx_1\cdots dx_n} $$
そして
$$ {\langle \vec A,\vec B \rangle :=\int_{\R^n}\vec A\cdot\vec B dx_1\cdots dx_n} $$

それで

$$ {\langle \nabla f,\vec A\rangle = -\langle f,\mathrm{div}\vec A\rangle} $$
これにより、発散演算子を勾配演算子の転置 (符号まで) として見ることができます。

発散のこの解釈には、リーマン多様体とテンソルの両方に一般化できるという利点があります。

$$ {\mathrm{div}(\vec A\wedge\vec B)=\vec B\cdot\mathrm{rot}\vec A – \vec A\cdot\mathrm{rot}\vec B} $$

この公式の典型的な応用例は、電磁気学のポインティングの定理です。

$$ {\vec{\mathrm{rot}}\left(\vec{\mathrm{rot}}\left(\vec A\right)\right) = \vec{\mathrm{grad}}\left(\mathrm{div}\left(\vec A\right)\right)-\Delta \left(\vec{A} \right)} $$

これらの関係は、ベクトル解析で広く使用されており、微分形式のコンテキストでよりよく理解されます。

発散の観点から表現された保存則

  • 電磁気学で言えば、
    $$ {\vec J} $$
    は電流ベクトル、 ρは電荷密度、
$$ {\mathrm{div}(\vec J)+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0} $$
。
  • 流体力学では、 ρ が点における密度であり、
    $$ {\vec V} $$
    速度ベクトルの場、
$$ {\mathrm{div}(\rho\vec V)+\frac{\partial \rho}{\partial t}=0} $$
(連続方程式)。
  • 他の保存則には、流体力学における運動量の保存など、次数2のテンソルの発散が含まれます。

一般相対性理論では、エネルギーと運動量のテンソルの発散はゼロです。

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テンソルの発散

ユークリッド空間の場合

(p,q)型のテンソル ( p – 反変およびq – 共変) は、その座標によって与えられます。

$$ {T_{i_1i_2\cdots i_q}^{j_1j_2\cdots j_p}} $$
。その共変導関数は、定義により、次の式で与えられる(p​​,q+1)型のテンソルになります。
$$ {\partial_i T_{i_1i_2\cdots i_q}^{j_1j_2\cdots j_p}} $$
(当社が指定したのは、
$$ {\partial_i} $$
i番目の変数に関する導出演算子)。発散は、次のように定義されるタイプ(p-1,q)のテンソルです。

$$ {S_{i_1i_2\cdots i_q}^{j_2\cdots j_p}=\sum_{i=1}^n \partial_i T_{i_1i_2\cdots i_q}^{ij_2\cdots j_p}} $$
(アインシュタインの規則を使用すると、合計記号を省略できます}

テンソル発散の例

$$ {T=\sum_{i,j}T^{ij}\frac{\partial}{\partial x_i}\otimes\frac{\partial}{\partial x_j}} $$
(タイプ(2,0) ) はベクトル場です

$$ {S=\sum_{i=1}^n S^i\frac{\partial}{\partial x_i}} $$
と
$$ {S^i=\sum_{j=1}^n\partial_j T^{ji}} $$

一般的な場合

この定義は、事実上、接続が提供される多様体上のテンソルに一言一句拡張されます。前の式で、微分を置き換えます。

$$ {\partial_i} $$
共変微分演算子による
$$ {\nabla_i} $$
、 (p,q)型のテンソルから(p,q+1)型のテンソルが得られます。

$$ {\big(\mathrm{div} T\big)_{i_1i_2\cdots i_q}^{j_2\cdots j_p}=\sum_{i=1}^n \nabla_i T_{i_1i_2\cdots i_q}^{ij_2\cdots j_p}} $$

最も重要なケースは、レヴィ-チヴィタ結合を備えたリーマン多様体または疑似リーマン多様体のケースです。この計量により、それらの間で同じ合計次数p+qのテンソルを識別することが可能になります。 k次数のテンソルの導関数は、 k-1次数のテンソルになります。

最もよく使用されるケース (上記のベクトル場のケースと同様) は、次数2の対称テンソルと微分形式のケースです。

参考文献

  • イヴォンヌ・ショケ＝ブリュア＆セシル・ドゥウィット＝モレット。 『解析、多様体、物理学 – パート I: 基礎』 、ノースホランド/エルゼビア (第 2 改訂版 – 1982 年)、ISBN 0-444-86017-7。
  • リチャード・ファインマン。物理の授業。電磁気学 I、ch. 2 および 3 、InterEditions、ISBN 2-72960028-0
  • ジャック・ラフォンテーヌ。微分品種の紹介、グルノーブル大学出版局 1996
  • François Rouvière、ライセンスおよび集計で使用する微分積分の小さなガイド、 Cassini 1999、ISBN 2-84225-008-7
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参考資料

  1. تشعب (توضيح) – arabe
  2. Дивергенция (пояснение) – bulgare
  3. Divergencija (čvor) – bosniaque
  4. Divergència (desambiguació) – catalan
  5. Divergence – tchèque
  6. Divergenz – allemand

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