導入
| ベクトル解析の記事 | |
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| 研究対象 | |
| ベクトルフィールド | スカラーフィールド |
| 偏微分方程式 | |
| ラプラス著 | 魚 |
| オペレーター | |
| ナブラ | 勾配 |
| 回転 | 発散 |
| スカラーラプラシアン | ビラプラシアン |
| ベクトルラプラシアン | ダランベルティアン |
| 定理 | |
| by グリーン | ストークス著 |
| ヘルムホルツ著 | 流れの分岐の |
| グラデーションの | 回転式 |
数学では、ベクトル場またはベクトル場は、ベクトルをユークリッド空間、またはより一般的には微分多様体の各点に関連付ける関数です。
ベクトル場は物理学でよく使用され、たとえば空間内を移動する流体の速度と方向、または点ごとに展開する磁力や重力などの力の値と方向をモデル化します。
数学的概念
E をユークリッドベクトル空間、 U をEの開空間とする。 U上の規則性クラスC kのベクトルの場は、 EにおけるUのクラスC kのマップFであり、そのn成分関数によって定義されます。
- $$ {F : \begin{bmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{bmatrix} \longmapsto \begin{bmatrix} F_1(x_1,\dots,x_n)\\ \vdots\\ F_n(x_1,\dots,x_n)\end{bmatrix}} $$
例:
- 極座標の移動基準フレームのベクトル。
- 位置ベクトル。
グラデーションフィールド
任意の点でXがfの勾配となるような関数f が存在する場合、ベクトル場Xは勾配場と呼ばれます。私たちは今でも、 X はポテンシャルfから導出されると言います。この場合、異なる電位は定数だけ異なります。
平面内で、ベクトル場X がポテンシャルfから派生する場合、 fの水準線、つまりfが定数に等しい曲線は、ベクトル場の等ポテンシャル曲線と呼ばれます。磁場がゼロ以外の点では、等電位曲線に対して垂直です。
ベクトル場が 3 次元空間の開いた表面上に描かれている場合、等電位面とも呼ばれます。より一般的には、どの次元でも、ベクトル場が法線である等ポテンシャル超曲面を扱っています。
3 次元空間では、勾配フィールドの回転は常にゼロです。逆に、開いたUのトポロジーが含まれます。Uが単純に接続されている場合、ベクトル場は、その回転が 0 である場合に限り、勾配場になります。
道沿いの交通
循環の概念は、特に物理学において力の仕事を計算するために使用されます。
γ を、開いたU上でトレースされるパス、つまり、クラスのU内の [a,b] のパラメーター化された円弧とします。
- $$ {\int_\gamma\langle X\mid\mathrm dl\rangle = \int_a^b x'(t) X(x(t))\mathrm dt} $$
この値は設定を変更しても不変です。
場が勾配fから派生する場合、循環はパスの終点のみに依存します。
- $$ {\int_\gamma \langle \nabla f|\mathrm dl\rangle =f(\gamma(b))-f(\gamma(a))} $$
特に、どの曲がり（閉じたパス）でもゼロになります。
微分形式による二重性
次数1 とクラスの微分形式
実際、空間はユークリッドであり、スカラー積により、 Eとその双対の間の同型写像を定義することができます。 X がU上のベクトルの場である場合、次のように各点で定義された微分形式をそれに関連付けることができます。
- $$ {L(x)=\langle\cdot|X(x)\rangle\qquad \text{ ce qui signifie }\qquad \forall Y \in E, \; L(x)(Y)=\langle Y|X(x)\rangle} $$
そして、この関連付けはベクトル場と次数 1 の微分形式の間の全単射です。
したがって、微分形式とベクトル場に関する定理間の類似性は驚くべきことではありません。ここに対応表があります。
| ベクトルフィールド | 差分注文形式 1 |
|---|---|
| 渋滞 | 曲線積分 |
| グラデーションフィールド | 正確な微分形式 |
| 回転（寸法 3） | 外部導関数 |
| ゼロ回転 (寸法 3) | 密閉差動形式 |
注: 回転の概念は 3 以外の次元にも拡張できます。
ベクトル場の積分曲線、力線
開いたU上に描かれたベクトル場Xに、微分方程式γ ‘ = を関連付けることができます。解関数は、クラスのパラメータ化された円弧γです。
- $$ {\forall x \in I, \qquad \gamma ‘(x) = X(\gamma(x))} $$
つまり、各点の導関数ベクトルは、その点の場によって与えられます。
この微分方程式の最大解はベクトル場の積分曲線と呼ばれます。それらは各点でベクトル場に接しています。したがって、勾配フィールドの場合、それらはレベルラインまたはサーフェスに対して直交します。 tでxが、時刻0で位置xにあった点を関連付ける関数は、微分方程式の流れと呼ばれます。
コーシー・リプシッツの定理は、初期条件 (t 0 ,x 0 ) の各ペアに対する最大解の存在と一意性を保証します。これは、フィールドがリプシッツ関数のみである場合にも当てはまります。