位相空間は、その座標が研究対象のシステムの動的変数である抽象空間です。
位相空間の有用性
非常に概略的な例は、アイデアを確立するのに役立ちます。
たとえば、月面探査モジュール(LEM) の月面への配置をシミュレートするビデオゲームを考えてみましょう。プレイヤーは推進力を作動させて落下を遅らせることができるため、モジュールの降下を引き起こす重力と、推進力（強すぎるとモジュールが上昇します）。画面上で地面に対する機械の高さだけを確認し、その垂直速度を推定する場合、この操作は長くて困難です。
一方、二次元座標系(高度、速度) の単純な点によって状況を具体化する小さな図と関連付けると、操縦は大幅に容易になります。目標は、到達すべき固定点によって具体化されます。 : 点 (0,0) 「地上レベルで速度なし」。これが実際に着陸の定義です。問題は自動化できるほど単純になります。
ただし、速度は他の座標、位置の導関数にすぎません。これは、非常に単純な位相空間を構築して使用し、それをすぐに利用する例です。
位相空間を使用する正当な理由
この空間で使用される座標は、ハミルトン力学の正準変数の座標です。この空間における力学の研究により、システムの進化の研究における時間的制約を取り除くことが可能になります。これは、たとえば微分方程式の解の初期条件への依存性を比較する場合に特に役立ちます。
ポイントモバイルの位相空間
動的変数は6 つあります。3 つの位置変数 ( x 、 y 、 z ) と 3 つの運動量変数 ( P x 、 P y 、 P z ) です。
力学方程式によれば、システムの発展は位置 ( x 、 y 、 z ) と速度 ( v x 、 v y 、 v z ) の初期データによって完全に決定されます。質量は既知であり、運動量は速度に比例します。
「力学の基本原理」の記事を参照してください。
波数ベクトル空間の場合
波は、その波数ベクトルによって特徴付けることができます。
波動ベクトルのノルムを、波長の逆数に数値 pi の 2 倍を掛けたものとして定義することを好む人もいます (これにより、方程式の形式が変わり、波動方程式に 2π という用語が現れるかどうかが変わります)。
逆空間 の記事を参照してください。