無次元数について詳しく解説

物理学において、無次元数は物理現象を記述する量です。この数値は「純粋な」数値、つまり次元（または単位）のない数値です。これは、単位が互いに打ち消し合うような、次元を持つ量の積または比率で構成されます。

次元分析により、これらの無次元数を定義できるようになります。これらは、特に流体力学、スケール モデルの類似性およびテスト結果の解釈に関係します。

無次元数のリスト

流体力学では

• アルキメデス数
• バグノルド数
• ビンガム数
• ビオの数
• ボーデンシュタイン数
• デボラの番号
• エッカート数
• 熱伝達におけるフーリエ数
• フレネル数
• フルード数
• 自然対流におけるグラスホフ数
• ハーゲン数
• クヌッセン数、流れ領域
• ルイス数
• マッハ数
• 熱伝達におけるヌッセルト数
• ペクレ数
• プラントル数
• 自然対流におけるレイリー数
• リーチの番号
• 流体力学におけるレイノルズ数
• リチャードソン番号
• ロスビー数はコリオリの力の大きさを数値化します。
• シャーウッドの番号
• スタントンの番号
• ストローハル数
• シュミット数
• テイラー数
• …

宇宙論では

• 電子折りの数
• 密度パラメータ
• 赤方偏移

スケールモデルの類似性

一般的な

さまざまな研究分野で縮尺模型での実験が行われますが、これにより模型の現実性の問題が生じます。つまり、2 つの縮尺での現象は類似している必要があります。たとえば、障害物の周りの流れを研究する場合、後流には、スケールを合わせるために、モデルとプロトタイプに同じ渦または乱流システムが含まれている必要があります。

現象が似ていると言うことは、スケールを変更するときに特定の不変条件が保持されなければならないことを意味します。したがって、これらの不変量は無次元数であり、現象を特徴付ける次元量から構築されなければなりません。以下では、3 つの基本量が質量M、長さL、時間T である機械的問題の場合のみを考慮します。

これらの条件下では、あらゆる物理量はM ^α L ^β T ^γの形式で表されます。無次元数の場合、各量の指数はゼロでなければなりません。

最初の問題は、どの量が現象を支配し、どの量が無視できるかを判断することで構成されます (重要な量を忘れると、完全に誤った結果が生じる可能性があります)。このリストが確立されたら、保存によって類似性が保証される無次元数を推定する必要があります。

これらの無次元数の中には、長さの比であるものもあります。それらの保存は、特別なコメントを必要としない幾何学的類似性を特徴づけます。ここでは物理量が関係するもののみが対象となります。

例

本質的な特性が圧縮率である流体の流れを考える場合、経験上、形状に加えて重要なパラメータは 2 つだけであり、乱されていない流れの速度V と圧縮率に関連するパラメータです。最も単純なのは速度です。 aで示される流体中の音。これら 2 つの量は同じ次元を持ち、保存される無次元数はすぐに推定され、それがマッハ数です。

流体に自由表面がある場合、圧縮率は無視できると仮定され、問題は少し複雑になります。問題となるパラメータは、寸法 LT ^-1の速度 V、寸法 L の直線寸法 D、および寸法 LT ^-2の量 g によって特徴付けられる自由表面を維持する重力です。次に、次の形式の無次元数を探す必要があります。

この積が無次元であるためには、2 つの基本量 L と T の指数がゼロでなければなりません (質量 M は介入しません)。

3 つの未知数を含むこれら 2 つの方程式では、速度の指数1 が任意に選択され、これがフルード数につながります。

自由表面がなくなり粘度が無視できなくなると、V と D に加えて流体の比質量 ρ と粘度 μ を導入する必要があります。前と同様の計算により、レイノルズ数が得られます。

コメント

実際の実験では、複数の類似条件を同時に満たすことが不可能なことがよくあります。したがって、船舶モデルを移動する場合、原理的には、船体上の摩擦を説明するためのレイノルズ相似性と、自由表面上の後流を説明するためのフルード相似性を尊重する必要があります。式をざっと調べてみると、流体の比質量、粘度、または重力を操作できない限り、スケールを小さくすると速度の低下と増加の両方が生じるはずであることがわかります。この場合、最も重要な類似性、一般的にはフルードの類似性を尊重する必要があります。本質的に財政的な制約により、レイノルズ類似性の不遵守に関連するスケール効果が弱くなるように十分に大きなスケールに達することが可能である場合、問題は無視されます。それ以外の場合は、他の実験から推定された数値補正を結果に適用する必要があります。

テスト結果の解釈

上記では、無次元数は明確に定義された現象のマーカーとして考慮されています。それらの 1 つが変更されると、原則として結果は変化するはずです。実験法則を得るために体系的なテストを実行する場合、最も効果的なプレゼンテーションは、無次元数を他の無次元数に関連付ける法則の形で結果を与えることです。

より詳細な分析により、探すべき法律の形式についてのアイデアが得られることもあります。この分析はバッキンガムの定理に基づいていますが、単純な場合にはレイリー卿によるより基本的な方法を使用できます。以下に、粘性はあるが非圧縮性で自由表面がないと仮定した流体の流れによって障害物にかかる力の古典的な問題の計算フレームワークを示します。関係する変数は、質量 M、長さ L、時間 T のみに依存します。

• 寸法 MLT ^-2の力 F、
• 障害物の寸法 D の特性、寸法 L の特性、
• 障害物に対する流れの発生率θ。基本変数には依存しません。
• 流れの速度 V、寸法 LT ^-1 、
• 寸法 ML ^-3の流体の比質量 ρ、
• 寸法 ML ^-1 T ^-1の粘度μ。

力を他の変数の未知の関数として表現する必要があります。

この関数は、さまざまな量を未知のべき乗に無次元係数k を乗算した単項式を含む一種の級数と考えることができます。

フルード数について述べたものと同様の識別により、指数のうちの 3 つが削除され、式は次の形式で記述されます。

これには 2 つの不定パラメータが含まれています。この系列は、積 D ²の代わりに特性領域 A を含む通常の形式で記述された関数に変換されます。

この式は、力が速度の二乗に比例するという意味ではありません。実際、これはレイノルズ数によって発生しますが、他の状況ではマッハ数やフルード数にも依存する可能性があります。この比例性が十分に検証されている場合もありますが、それは実験の結果であり、次元解析の結果ではありません。これは物理法則を記述するための最も効果的な形式を示すだけであり、その内容を示すことはできません。

テスト結果をフォーマットするために、この式は、他の 2 つの無次元数の無次元数関数として記述されます。