導入
Fortuin、Kasteleyn、Ginibre によるFKG 不等式は、合計に関するチェビシェフの不等式の一般化されたバージョンです。これは、パーコレーション理論やエルデシュとレーニによるランダム グラフ モデルの研究などで使用される相関不等式です。
声明
Harris による形式では、 FKG 不等式は、各要素jが確率1-pで状態 0 にあるか、確率pで状態 1 にある有限または可算集合Jに関係します。したがって、システムJの全体的な状態は次の要素によって記述されます。
$$ {\scriptstyle\ \Omega=\{0,1\}^J.\ } $$
Jの異なるサイトjの状態は独立していると仮定されるため、集合は$$ {\scriptstyle\ \Omega=\{0,1\}^J\ } $$
状態、または構成には、ベルヌーイの法則の積の尺度である確率法則が備わっています。集合Ω は、集合と指標関数の対応関係により、 Jの部分の集合と識別できます。 FKG 不等式は次のように述べています。FKG の不平等—
- 2 つの確率変数XとY が増加するとします。 $$ {\scriptstyle\ \Omega.\ } $$それで
$$ { \mathbb{E}\left[XY\right] \geq \mathbb{E}\left[X\right] \mathbb{E}\left[Y\right].\, } $$
- の 2 つの増加部分AとB を考えてみましょう。 $$ {\scriptstyle\ \Omega.\ } $$それで
$$ { \mathbb{P}(A\cap B) \geq \mathbb{P}(A) \mathbb{P}(B).\, } $$
最初の不等式を次の形式で再定式化できるため、これは、関係する変数間に正の相関があることを意味します。
$$ { \text{Cov}\left(X,Y\right)\ \ge \ 0. } $$
- FKG 不等式の 2 番目の点は、 X がAの指標関数であり、 Y がBの指標関数である特定のケースに特化することにより、最初の点の直接の結果として得られます。
- この不等式は、変数または部分が減少する場合にも当てはまりますが、関連する変数または部分の単調性の方向が反対の場合、不等式の方向は変わります。
- FKG 不等式には、同じ結論を持つ、より一般的な形式がありますが、より一般的な積空間用であり、必ずしも積の測度ではない測度が提供されます (FKG 不等式を参照)。
秩序と成長
- Ωに関する半順序関係を次のように定義します。 $$ {\scriptstyle\ (a,b)\in\Omega,\ a=(a_j)_{j\in J},\ b=(b_j)_{j\in J},\ } $$私たちはポーズをとる
$$ {\{a\le b\}\quad\Leftrightarrow\quad\{\forall j\in J,\ a_j\le b_j\}.\ } $$
- Ω をJの部分の集合と同定すると、上記の順序関係は包含関係として解釈されます。から一般化したい場合、この類似点はもはや当てはまりません。 $$ {\scriptstyle\ \Omega=\{0,1\}^J\ } $$もっている$$ {\scriptstyle\ \Omega=E^J,\ } $${0,1}よりも一般的な状態空間Eの場合。
- いつものように、実数値を持つΩ上で定義されたマップX は、次の場合に増加するといいます。
$$ {\{a\le b\}\quad\Rightarrow\quad\{X(a)\le X(b)\}.\ } $$
- ΩのA部分は、次の場合に増加するといいます。
$$ {\{a\le b\ \text{et}\ a\in A\}\quad\Rightarrow\quad\{b\in A\}.\ } $$
- 同様に、 Ωの部分Aは、その指標関数が増加している場合、増加していると言われます。
- アプリケーションまたは部品の減衰プロパティにも同様の定義があります。
例:
- パーコレーション: J はネットワークエッジのセットです$$ {\scriptstyle\ \mathbb{Z}^d,\ } $$エッジは互いに独立して、確率pで開き、確率1-pで閉じます。
- 無限クラスターを有する構成の集合Aが増加しています (無限クラスターの存在特性が増加していると言います)。
- 2 つの指定されたサイトxとyでは、「 xはyに接続されている」というプロパティが増加しています。
- 「 x は無限クラスターに属する」という性質が増加しています。
- Erdős-Rényi モデル: Jは、1 からnまで番号が付けられたn個の頂点間のn(n-1)/2 個の潜在的なエッジのセットであり、エッジは確率pで存在し、確率1-pで存在せず、互いに独立しています。存在するエッジのセットは、 G(n,p)で示されるランダム グラフを定義します。Erdős と Rényi は、その特定のプロパティ (イベント) と特定のパラメータ (ランダム変数) を研究しました。これらのプロパティとパラメータのうち、
- 接続性が向上しています。
- 平面性が低下しています。
- 色彩数は増加しています。
- 独立したセットの最大サイズ (独立数) のサイズは減少しています。
- 三角形のない特性は減少しています。
