ヒルベルトの公理について詳しく解説

導入

デヴィッド・ヒルベルト

ユークリッドは、当時のすべての幾何学的知識を公理理論の形で創立書 (原論) にまとめました。彼は第 5 公準を使用するユークリッド幾何学、それを使用しない非ユークリッド幾何学、そしてユークリッド空間にその名を残しました。この本には、幾何学を構築するための公理的な基礎が含まれています。

この公理的基礎は依然として不完全です。この幾何学に関連する定理を厳密に証明するには、追加の暗黙の仮説を真であると認める必要があります。

David Hilbert は、ユークリッドの幾何学の考え方に対応する公理を構築します。これがこの記事の主題です。

コンテクスト

ヒルベルトの公理は20 の主張 (当初は 21) で構成されており、デヴィッドヒルベルトは 1899 年の論文で、ユークリッド幾何学の現代的な扱いのための厳密な基礎として提案しました。ユークリッド幾何学の他の 2 つの公理化も存在します。タルスキーとバーコフの公理化です。

ヒルベルトの分析

これらの前提は、19^世紀末にパッシュとヒルベルトによって強調されました。彼は、 『The Foundations of Geometry』で完全かつ厳密な公理的なプレゼンテーションを行い、伝統的な幾何学で暗黙的に使用されているすべての公理を明確に特定するよう努めました。

角度と長さ

したがって、ユークリッドの理論の基本的な概念の 1 つは、図形間の平等、つまり合同です。 2 つの図形は、同じ剛体の 2 つの異なる位置を表すことができる場合、等しいと見なされます。 2 つの距離 AB と CD が等しいかどうかを確認するには、硬い定規上で 2 つの点 E と F を配置し、AB と CD の両方で EF を調整できることを確認します。これは円形性の問題につながります。幾何学的な意味では、ルールの点間の距離が移動中に変化しない場合、ルールは厳格です。しかし、2 つの距離が等しいことを知るには、剛体を使用して移動します。

David Hilbert は、著書『Foundations of Geometry』の中で、この悪循環を強調します。これを改善するために、彼はユークリッドの暗黙の前提を明らかにする新しい公理を導入しました。これらの公理は、合同な図形によって検証したい特性を与えます。たとえば、推移性ルールが尊重されるようにします。つまり、AB と CD が同じ長さで、CD と EF も同じ長さの場合、AB と EF は同じ長さでなければなりません。さらに、ヒルベルトの公理の 1 つは、線分の合同と角度の合同を結び付け、三角形が等しいという最初のケースを構成します。[AB] が [A’B’] に、[AC] が [A’C ‘] に合同で、角度が等しい場合BAC を角度 B’A’C’ にすると、[BC] は [B’C’] と合同になります。ユークリッドの定理であるこの性質は、ヒルベルトでは公理になっていることに注意してください。これは、Euclid が変位によって合同性が維持されると暗黙的に仮定しているためです。ヒルベルトによって更新されたこの仮定は、実際、定理の正当性を認めることになります。ヒルベルトはこの公理から、三角形が等しい他の場合、直角の存在、およびすべての直角の間の合同を推定します。この最後の性質はユークリッドの公理です。

ヒルベルトの数と幾何学

ヒルベルトは、数値フィールドが一意ではないことをよく知っています。彼はまた、体には良い特性があるという古代の考えが誤りであることも知っています。有理数には、空間を適切にモデル化するために必要な特性がありません。

正しいフィールドは実数のフィールドです。この物体は、ヒルベルトによって特に単純な方法で公理化されました。それは唯一の完全なアルキメデスの物体です。

ヒルベルトの公理的な選択は、優雅さの問題に関しては、古代の構造以上に数字を参照していません。追加される公理は 2 つだけです。1 つはアルキメデスの性質に対応し、もう 1 つはカントールが取り上げたコーシー形式主義から借用した完全性に対応します。これら 2 つの公理により、基礎となる本体の一意性が保証されます。

ジオメトリの非独自性

ヒルベルトは、三角形が等しいという最初のケースの公理は他の公理からは演繹できないことを示しています。実際、三角形が等しいという最初のケースを除いて、ヒルベルト幾何学のすべての公理を検証する (非アルキメデスの) 幾何学を定義できます。このジオメトリには次のような異常があります。

三角不等式は存在しません。
三角形が等しい場合はもはや有効ではありません。
2 つの等しい角を持つ三角形ができますが、その 2 つの辺は等しくありません。
線の対称性は必ずしも長さを維持するとは限りません。
三角形の面積 (底辺×高さ/2) の概念は定義されなくなりました。
2 つの等分解可能な正方形 (つまり、合同な三角形に分解できる) が見つかり、一方が他方の内部にあります。

ヒルベルトの公理学には、古代人が想像した幾何学が 1 つだけ含まれています。それは異常を含まないため、ユークリッドの思考に正確に反応します。