導入
数学では、群は内部構成法則 (または演算) が与えられた空でない集合です。このセットとこの演算は、演算が結合的であり、中立要素を許容する場合、およびセットの各要素がこの法則に対して逆を許容する場合に、グループを形成します。グループ構造は、加算の法則により、整数などの多くの数値セットに共通です。しかし、この構造は他の多くの分野、特に代数学にも見られ、現代数学の中心的な概念となっています。
グループ構造は、対称性の概念と密接な関係があります。対称グループは幾何学的形状の対称性を記述します。対称グループはオブジェクトを不変のままにする一連の幾何学的変換で構成され、操作はそのような変換を構成する、つまりそれらを次々に適用することで構成されます。このような対称群、特に連続リー群は、多くの科学において重要な役割を果たします。たとえば、一般的な線形群は、特殊相対性理論や化学における分子の対称性に関連する現象を理解するために基礎物理学で使用されます。
群の概念は、1830 年代のエヴァリスト ガロアによる多項方程式の研究から生まれました。数論や幾何学などの他の分野での貢献の後、群の概念は一般化され、1870 年頃にしっかりと確立されました。これは現代の群理論の非常に活発な分野です。数学 — それ自体のためにグループを研究します。数学者はグループを探索するために、グループをサブグループ、商グループ、単純グループなど、より小さく理解しやすい部分に分割するためのさまざまな概念を開発しました。群理論の専門家は、その抽象的な特性に加えて、理論的または計算的な観点から、それらを具体的に表現するさまざまな方法 (群表現と呼ばれるもの) を研究します。有限数の要素を持つ群に対して特に充実した理論が開発され、1983 年に完成した有限単純群の分類で頂点に達しました。 1980 年代半ば以降、有限タイプの群を幾何学的オブジェクトとして研究する幾何群論が開発されました。群理論の特に活発な分野となっています。
定義と図解
最初の例: 整数
最も一般的なグループの 1 つは、次の数値で構成される相対整数 ℤ のセットです。
- …、−4、−3、−2、−1、0、1、2、3、4、…
通常の加算の次の性質は、以下に示す一般定義の公理のモデルとして機能します。
- 任意の 2 つの整数aおよびbについて、和a + bも整数になります。言い換えれば、2 つの整数を加算しても非整数の結果が得られることはありません。足し算は内部構成の法則であると言われます。
- すべての整数a 、 b 、 cについて、 ( a + b ) + c = a + ( b + c ) となります。文字通り、最初にaとb を加算し、次にその結果にc を加算すると、 bとcの合計にa を加算した場合と同じ最終結果が得られます。この性質を結合性といいます。
- aが整数の場合、 0 + a = a + 0 = aとなります。任意の整数に 0 を加算するとその整数が返されるため、ゼロは加算の中立要素と呼ばれるものです。
- 任意の整数aに対して、 a + b = b + a = 0 となる整数bが存在します。整数b は整数aの逆元と呼ばれ、 −aと表されます（加算については、逆とも言います）。
意味
「+」演算を伴う整数は、構造的な類似性を共有するオブジェクトの大きなクラスに属する数学的オブジェクトを形成します。以下の正式な定義は、前の例と、以下で詳述する対称群を含む他の多くの例を包含するものであり、各ケースを個別に扱うことなくこれらの構造を理解することを可能にします。
群とは、最初の項が集合Gであり、第 2 項がこの集合「・」に対する演算 (合成法則とも呼ばれる) である対であり、G の 2 つの要素aおよびbに別の要素a • bを関連付けます。記号「・」は、上記の加算など、特定の演算を示す一般的な記号です。法則は 4 つの公理を満たす必要があります。
- 内部構成の法則
Gのすべてのaおよびb要素について、結果a • bもGに含まれます。
- 結合性
Gのすべての要素a 、 b 、 cについて、等式 ( a · b ) · c = a · ( b · c ) が成り立ちます。
- 中立的な要素
Gのすべてのaに対して、 e • a = a • e = aとなるようなGの要素e が存在します。 e は群の中性元素( G , •) と呼ばれます。
- 逆行する
Gの要素aごとに、 a • b = b • a = eとなるb がGに存在します。ここで、 eは中立要素です。 b はaの逆関数と呼ばれます。
操作が実行される順序が重要な場合があります。つまり、要素aと要素b を組み合わせた結果は、 bとaを組み合わせた結果と同じではない可能性があります。合法性
- a・b = b・a
は必ずしも真実ではありません。常にa • b = b • aとなる群は、可換群、またはアーベル群 (ニールス アーベルに敬意を表して) と呼ばれます。したがって、整数の加法群はアーベル関数ですが、以下に説明する対称群はアーベル関数ではありません。
2 番目の例: 対称グループ
正方形の対称性 (つまり、回転と反射) は、二面体グループと呼ばれるグループを形成し、D 4で示されます。リストは次のとおりです。
 id (識別性: 各ポイントが保存されます) |  r1 （右90°回転） |  r2 （180°回転） |  r3 （右に270°回転） |
 f v (垂直反転) |  f h (水平反転) |  f d (最初の対角線に沿って反転) |  f c (2番目の対角線に沿った反転) |
| 対称群の要素 (D 4 )。頂点には、変換を視覚化するためにのみ色が付けられ、番号が付けられています。 | |||
- アプリケーション ID は、すべてを変更せずに、 id で示されます。
- 右への９０°、１８０°、および２７０°の回転は、それぞれｒ １ 、ｒ ２ 、およびｒ ３で示される。これらすべての回転の中心は、正方形の対角線の交点です。
- 反射は、正方形の辺の二等分線 (f hと f v ) またはその対角線 (f dと f c ) を軸に持ちます。
任意の 2 つの対称を構成できます。つまり、次々に適用されます。 a を実行してからb を実行して得られた結果は記号的に書かれます
- b • a ( 「 aを適用した後に対称bを適用する。」ここで使用されている右から左への記述は関数合成に由来しています。)
グループ D 4は、反対側の Cayley テーブルによって記述されます。小学生が使う九九のような九九です。したがって、行 f hと列 r 3の交差点に f d (青色のボックス) があります。これは、 f h • r 3 = f dを意味します。言い換えれば、正方形に右へ270 ° の回転 (r 3 ) を適用し、次に水平方向の反転 (f h ) を適用すると、最初の対角線(f d ) に沿って反転を適用することになります。
| • | ID | r1 | r2 | r3 | fv | fh | f d | fc |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ID | ID | r1 | r2 | r3 | f v | fh | f d | f c |
| r1 | r1 | r2 | r3 | ID | fc | f d | f v | fh |
| r2 | r2 | r3 | ID | r1 | fh | f v | f c | f d |
| r3 | r3 | ID | r1 | r2 | f d | fc | fh | fv |
| f v | f v | f d | fh | f c | ID | r2 | r1 | r3 |
| fh | fh | f c | fv | f d | r2 | ID | r3 | r1 |
| f d | f d | fh | f c | f v | r3 | r1 | ID | r2 |
| f c | fc | fv | f d | fh | r1 | r3 | r2 | ID |
| 要素 id、r 1 、r 2 、および r 3は、赤で色付けされたサブグループを形成します (左上)。このサブグループに続く左側と右側の 2 つのクラスは、それぞれ緑色(最後の行) と黄色(最後の列) で表示されます。 | ||||||||
この一連の対称性と上記の演算を考慮すると、群公理は次のように理解できます。
- この演算は内部合成法則でなければなりません。すべての対称性aおよびbについて、 b • aも正方形の対称性でなければなりません。たとえば、 r 3 • f h = f c
つまり、正方形を水平に反転した後、右に 270°回転することは、2 番目の対角線 (f c ) に沿って反転することと同じです。反対側の Cayley テーブルで証明されているように、2 つの対称性のすべての組み合わせで対称性が得られます。 - 結合性仮説は 3 つ以上の対称性の構成を扱います。D 4の 3 つの要素a 、 b 、 cが与えられた場合、「 a then b then c 」を計算する可能な方法は 2 つあります。条件
- a · ( b · c ) = ( a · b ) · c
- 3 つの要素の構成が演算の優先順位に依存しないことを意味します。これは、反対側の Cayley テーブルを調べることによっても確認できます。たとえば、次のことに気づくことができます。
- (f d · f v ) · r 2 = r 3 · r 2 = r 1
- に等しい
- f d · (f v · r 2 ) = f d · f h = r 1
- 中立要素は id で示される対称性であり、すべてが不変のままになります。 a の対称性が何であれ、 aと id を構成することは、 a を適用することになります。
- id • a = a 、
- a • id = a 。
- 逆要素は、指定された対称性の逆変換です。すべての対称性は「元に戻す」ことができます。変換 id、f h 、f v 、f d 、 f cおよび 180 度回転 r 2のそれぞれはそれ自体の逆変換であり、これらの変換の 1 つを 2 回適用することは二乗不変のままにすることと同じになります。回転ｒ ３とｒ １ は互いに逆である。正式には次のように書きます。
- f h • f h = id 、
- r 3・ r 1 = r 1・ r 3 = ID。
すでに引用した整数のグループとは異なり、D 4では演算が実行される順序が重要です: f h · r 1 = f cでもr 1 · f h = f d 。 。 D 4 は可換ではないと言います。ここでは、グループ構造が整数に関する最初の例で示唆されているよりも繊細であることがわかります。