導入
数学では、球面調和関数は特殊な調和関数です。念のために言っておきますが、ラプラシアンがゼロの場合、関数は調和的であると言われます。球面調和関数は、回転に関連する特定の演算子の固有ベクトルであるため、回転不変問題を解決するのに特に役立ちます。
次数lの調和多項式P ( x , y , z )は、次元2 l + 1のベクトル空間を形成し、球面座標で表現できます。
$$ {( r,\theta,\varphi )} $$
2 l + 1 の組み合わせを使用:
$$ {r^l \cdot Y_{l,m}(\theta, \varphi)} $$
、と
$$ { – l \le m \le + l} $$
。
球面座標
$$ {( r,\theta,\varphi )} $$
はそれぞれ、球の中心からの距離、緯度、経度です。
同次多項式はすべて、単位球S 2への制限によって完全に決定されます。
定義—調和同次多項式の制限によって得られる球上の関数は球面調和関数です。
これが、研究する問題によって異なるラプラス方程式の動径部分がここでは表示されない理由です。
球面調和関数は、方向(異方性)、したがって回転 (直交対称群S O (3) ) の概念が登場し、ラプラシアンが登場するとすぐに、数理物理学で使用されます。
- 音響学（複数のスピーカーによる空間効果の再構成）
- ニュートンポテンシャル理論（静電気学、力学）、重量測定など。
- 地球物理学 (地球儀の表現、気象学)
- 組織の結晶学では、
- 量子物理学（波動関数の展開、電子雲の密度、水素原子の原子軌道の記述）
- 等
ラプラス方程式を解く
機能を探します
$$ {Y_{l,m}(\theta, \varphi)} $$
単一変数の 2 つの関数の積の形で:
$$ {Y_{l,m}(\theta, \varphi) = k P_{l,m}(\cos \theta) \mathrm{e}^{+ \, i \, m \, \varphi} } $$
ここで、 k は定数であり、後で正規化によって修正されます。固有値方程式は、関数P l , m (cosθ)の次数 2 の線形微分方程式になります。
$$ {- \frac{1}{\sin \theta } \frac{\mathrm d ~}{\mathrm d \theta} \left(\sin \theta \frac{\mathrm d P_{l,m}(\cos \theta)}{\mathrm d \theta}\right) + \frac{m^2}{\sin^2 \theta } P_{l,m}(\cos \theta) = E_{l,m} P_{l,m}(\cos \theta) } $$
変数を変更します。
$$ {\theta \mapsto x = \cos \theta} $$
これは、ルジャンドルの一般化微分方程式につながります。
$$ {- \frac{\mathrm d ~}{\mathrm dx} \left[ (1-x^2) \frac{\mathrm d P_{l,m}(x)}{\mathrm dx}\right] + \frac{m^2}{(1-x^2) } P_{l,m}(x) = E_{l,m} P_{l,m}(x) } $$
この方程式の固有値はmに依存しません。
$$ {E_{l,m} = l (l+1)~} $$
固有関数P l 、 m ( x ) は、 m = 0 の場合に対応する、通常のルジャンドル微分方程式の固有関数であるルジャンドル多項式P l ( x )から構築されます。
$$ {- \frac{\mathrm d ~}{\mathrm dx} \left[ (1-x^2) \frac{\mathrm d P_{l}(x)}{\mathrm dx}\right] = l (l+1) P_{l}(x) } $$
オリンデ・ロドリゲスの生成公式があります。
$$ {P_{l}(x) = \frac{1}{2^l l !} \frac{\mathrm d^l ~}{\mathrm dx^l} \left[ x^2 – 1 \right]^l} $$
次に、次の式によって固有関数P l , m ( x )を構築します。
$$ {P_{l,m}(x) = (-1)^m \left[ 1 – x^2 \right]^{m/2} \frac{\mathrm d^m P_{l}(x)}{\mathrm dx^m} } $$
または明示的に:
$$ {P_{l,m}(x) = \frac{(-1)^m}{2^l l !} \left[ 1 – x^2 \right]^{m/2} \frac{\mathrm d^{l+m} ~}{\mathrm dx^{l+m}} \left[ x^2 – 1 \right]^l } $$
注: 実際には、次の関数P l 、 m ( x ) を計算するだけで十分です。
$$ { m \ge 0} $$
なぜなら、
P l , m ( x )と
P l , − m ( x )の間には単純な関係があるからです。
$$ {P_{l,- \, m}(x) = (-1)^m \frac{(l-m) \, ! }{(l +m) \, !} P_{l,m}(x)} $$
球面調和関数の表現
すると、以下の式が得られます。この表現を覚える簡単な方法は次のとおりです。
$$ { Y_{l,0} = P_l (\cos \theta)\cdot \sqrt{\frac{2l+1}{4\pi}}} $$
、ここで、 P l ( x ) は次数lのルジャンドル多項式です。
次に、以下を取得します。
$$ {J_+ Y_{l,m} = \sqrt{(l^2-m^2)+(l-m)}\cdot Y_{l,m+1}} $$
または
$$ { J_+ = e^{i\phi}\left( \frac{\partial}{\partial \theta} + \frac{i}{\tan \theta} \cdot \frac{\partial}{\partial \phi}\right)} $$
は「高級」演算子です。
負のmの場合、
$$ {Y_{l,m} = (-1)^m.Y_{l, -m}^*} $$
注:私たちは降順スケール演算子の存在を直観的に認識し、得られた結果の一貫性をチェックできます。
多くの場合、この根拠が注目されます
$$ {|lm\rangle} $$
:
したがって、球S 2上の任意の関数を次のように書くことができます。
$$ {f(\theta, \phi) = f^{l,m}\cdot |lm\rangle} $$
(アインシュタインの総和規則において)、複素係数f ( l , m )は、次の基礎においてfの成分の役割を果たします。
$$ {|lm\rangle} $$
(一般化フーリエ係数と呼ぶこともあります)。
化学や地球物理学では、「実際の」球面調和関数や実際のフーリエ係数を使用することを好むことがあります。
数学的表現
単位球上の直交基底を形成する球面調和関数、任意の連続関数
$$ {f(\theta, \varphi)} $$
は一連の球面調和関数に分解されます。
$$ {f(\theta, \varphi) = \sum_{l = 0}^{+\infty} \sum_{m = -l}^{+l} C_l^m \cdot Y_l^m (\theta , \varphi)} $$
ここで、 lとmは整数のインデックス、 C l m は定数係数であり、数学では多くの場合、この基数に関連する一般化フーリエ係数の名前が使用されます。
球面調和関数での展開は、角度関数に適用すると、周期関数のフーリエ級数での展開と等価です。
Y l m は複素関数Y l mの実部です
$$ {Y_l^m(\theta , \varphi) = \operatorname{Re} \left ( \underline{Y_l^m}(\theta , \varphi) \right )} $$
Y l m は「関連ルジャンドル関数」と呼ばれ、次のように定義されます。
$$ {\underline{Y_l^m}(\theta , \varphi) = \sqrt{\frac{2 \cdot (l-m)!}{(l+m)!}} \cdot P_l^m (\cos \theta) \cdot e^{i m \varphi}} $$
ここで、 iは虚数、 P l m はルジャンドル多項式です。
$$ {P_l^m (X) = \frac{(-1)^m}{2^l \cdot l!} \cdot (1-X^2)^{m/2} \cdot \frac{\partial^{m+l}}{\partial X^{m+l}} \left [ (X^2 – 1)^l \right ]} $$
したがって、私たちは
$$ {Y_l^m(\theta , \varphi) = \sqrt{\frac{2 \cdot (l-m)!}{(l+m)!}} \cdot P_l^m (\cos \theta) \cdot \cos(m \varphi)} $$
たとえば、次のようなものがあります。
$$ {P_0^0(\cos \theta) = 1} $$
( Y 0 0 は等方性です); $$ {P_1^0(\cos \theta) = \cos \theta} $$
; $$ {P_1^1(\cos \theta) = – \sin \theta} $$
; $$ {P_3^1(\cos \theta) = \frac{3}{2} \cdot \sin \theta \cdot (-5 \cdot \cos^2 \theta + 1)} $$
;
関数Y l m (θ, φ)は、 l が増加するにつれてますます対称性を示します (ただし、 Y 0 0は定数関数であり球を表すため、 l = 0 の場合を除きます)。
ルジャンドル多項式
円周調和関数の場合、余弦関数の多項式P l を使用します。
Y l (θ) = P l (cosθ)使用される多項式P l はルジャンドル1多項式です。
$$ {P_l(X) = \frac{1}{2^l \cdot l!} \cdot \frac{d^l}{d X^l}\left [ (X^2 – 1)^l \right ]} $$
(スイスの数学者ロドリゲスの公式)以下を取得します。
$$ {P_0(\cos \theta) = 1~} $$
(等方性関数); $$ {P_1(\cos \theta) = \cos \theta~} $$
; $$ {P_2(\cos \theta) = \frac{1}{2} (3 \cos^2 \theta -1)} $$
; $$ {P_3(\cos \theta) = \frac{1}{2} (5 \cos^3 \theta – 3 \cos \theta)} $$
;
