| ベクトル解析記事 | |
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| 研究対象 | |
| ベクトルフィールド | スカラーフィールド |
| 偏微分方程式 | |
| ラプラス–ポワソン | |
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| ベクトルラプラシアン | ダランベルティアン |
| 定理 | |
| by グリーン | ストークス著 |
| ヘルムホルツ著 | 流れの分岐の |
| グラデーションの | 回転式 |
ベクトル解析におけるラプラス方程式は2 次偏微分方程式であり、その名前は数理物理学者ピエール＝シモン・ラプラスにちなんで付けられています。
ニュートン力学の必要性のために導入されたラプラス方程式は、天文学、静電気学、流体力学、熱伝播、拡散、ブラウン運動、量子力学など、理論物理学の他の多くの分野に登場します。
ラプラス方程式の解関数は調和関数と呼ばれます。
三次元のラプラス方程式
3次元ユークリッド空間の デカルト座標では、問題は 3 つの実数変数を持つすべての関数を見つけることで構成されます。
$$ {\frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} \ + \ \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} \ + \ \frac{\partial^2 \varphi}{\partial z^2} \ = \ 0} $$ |
記述を簡素化するために、前の偏微分方程式がコンパクトに記述されるように、 Δで示され、ラプラス演算子または単にラプラシアンと呼ばれる微分演算子を導入します。
$$ {\Delta \varphi \ = \ 0} $$ |
2次元のラプラス方程式
2次元ユークリッド空間のデカルト座標では、問題は、次を満たす 2 つの実数変数V ( x , y )を持つすべての関数を見つけることで構成されます。
$$ {\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} \ + \ \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} \ = \ 0} $$ |
任意の正則関数が実数部と虚数部によって 2 次元のラプラス方程式の解を与えることを示します。さらに、これらの解はすべての点で直交しています。
正則関数に関する注意事項
複素係数を持つ多項式関数はすべて正則です。
- 平方根関数は次のように定義できます。
- $$ {\sqrt{z} = e^{{1 \over 2} \ln{z}}} $$
- したがって、対数関数がどこにあっても正則です。
- 逆関数$$ {z\mapsto 1/z} $$は正則です$$ {\mathbb C^*} $$。
- 逆三角関数にも同様に継ぎ目があり、継ぎ目以外はどこでも正則です。
ラプラス方程式と正則関数
定理1
| あらゆる解析関数はラプラス方程式の解です。 |
デモンストレーション
複素変数z = x + i yを導入します。ここで、
$$ {\frac{\partial F}{\partial x} \ = \ \frac{d F}{dz} \ \frac{\partial z}{\partial x} \ = \ F'(z)} $$ |
その間 ：
$$ {\frac{\partial F}{\partial y} \ = \ \frac{dF}{dz} \ \frac{\partial z}{\partial y} \ = \ i \ F'(z)} $$ 。 |
2 回微分すると、同様の方法で次の結果が得られます。
$$ {\frac{\partial^2 F}{\partial x^2} \ = \ F”(z)} $$ |
その間 ：
$$ {\frac{\partial^2 F}{\partial y^2} \ = \ – \ F”(z)} $$ |
和はゼロなので、正則関数F は実際にラプラス方程式の解になります。
$$ {\frac{\partial^2 F}{\partial x^2} \ + \ \frac{\partial^2 F}{\partial y^2} \ = \ 0} $$ |
注: 正則関数は常に実数部と虚数部への分解を許可します。
$$ {F(z) \ = \ V(x,y) \ + \ i \ \phi(x,y)} $$ |
実数部と虚数部を別々にキャンセルすると、 2 つの独立したラプラス方程式が得られます。
$$ {\frac{\partial^2 V}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 V}{\partial y^2}=0 \qquad \mathrm{et :} \qquad \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2}=0} $$ |
定理2
| 等電位は力線に垂直です |
デモンストレーション
次のように書くことができます:
$$ {\frac{\partial F}{\partial x}\ = \ F'(x+iy) \ = \ \frac{\partial V(x,y)}{\partial x} \ + \ i \ \frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial x}} $$ |
そして ：
$$ {\frac{\partial F}{\partial y} \ = \ i F'(x+iy) \ = \ \frac{\partial V(x,y)}{\partial y} \ + \ i \ \frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial y}} $$ |
私たちは次のように推測します。
$$ {\frac{\partial V(x,y)}{\partial x} \ = \ \frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial y} \qquad \mathrm{et :} \qquad \frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial x} \ = \ – \ \frac{\partial V(x,y)}{\partial y}} $$ |
または最後に:
$$ {\frac{\partial V(x,y)}{\partial x} \cdot \frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial x} \ + \ \frac{\partial V(x,y)}{\partial y} \cdot \frac{\partial \Phi(x,y)}{\partial y} \ = \ 0} $$ |
ここで 2 つのベクトルのスカラー積がわかります。
$$ {\vec \mathrm{grad} \ (V) \cdot\vec \mathrm{grad} \ (\Phi) \ = \ 0} $$ |
これから、{ V(x,y) = 定数} と { φ(x,y) = 定数} における曲線は垂直であることが推測されます (共形変換)。つまり、{ V(x,y) = 定数} が同じ電位の曲線を表す場合、{ φ(x,y) = 定数} は静電気力学における電力線を表すことになります。
ポアソン方程式
右辺が与えられた関数f ( x , y , z )の場合、ポアソン方程式が得られます。
$$ {\Delta \varphi = f} $$ |