導入
数学では、重四元数(または複素四元数) は、複素数に対する四元数の代数の要素です。バイクォータニオンの概念は、19世紀にウィリアム ローワン ハミルトンによって初めて言及されました。 William Kingdon Clifford は、別の代数に関連して同じ名前を使用しました。
。
意味
どちらか
$$ {{1, i, j, k}\,} $$
、(実) 四元数の基礎、および$$ {u, v, w, x\,} $$
複素数の場合- $$ {q = u 1 + v i + w j + x k\,} $$
は四四元数です。複素数スカラーは、四元数基底ベクトル (つまり、 vj = jv ) と交換できると想定されます。クォータニオンのグループに従って加算と乗算を慎重に操作することにより、このコレクションは複素数に関する 4次元の代数を形成します。重四元数の代数は結合的ですが、可換ではありません。
バイクォータニオン代数はテンソル積として考えることができます
$$ {\mathbb{C}\otimes\mathbb{H}\,} $$
または$$ {\mathbb{C}} $$
は複素数体であり、 $$ {\mathbb{H}\,} $$
は実四元数の代数です。相対論的物理学への応用
ディラック方程式により、新しい軌道角運動量理論による電子のスピンの変化と陽電子の導入のモデル化が可能になります。
ローレンツグループの発表
バイクォータニオン
$$ {\iota~k = \sigma_1\,} $$
、 $$ {\iota~j = \sigma_2\,} $$
そして$$ {-~\iota~i = \sigma_3\,} $$
Alexander MacFarlaneによって使用され、その後、 Wolfgang Pauliによってマトリックス形式で使用されました。それらはパウリ行列として知られるようになりました。それらはそれぞれ正方形として恒等行列を持ち、その結果としてサブプランを持ちます。 $$ {{a + b~\sigma ; a, b \in \mathbb{R}}} $$
重四元数のリング内のそれらの 1 つによって生成されるものは、分割複素数のリングと同型です。したがって、パウリ行列は、 $$ {\sigma\,} $$
1 つのパラメータのグループを生成します$$ {{u : u = exp(a \sigma), a \in \mathbb{R}}} $$
サブプレーン上のアクションは双曲線回転です。ローレンツ群は 6 つのパラメーターを持つリー群で、3 つのパラメーター (つまり、パウリ行列によって生成されたサブグループ) は、「ブースト」と呼ばれることもある双曲回転に関連付けられています。他の 3 つのパラメーターは、空間内の通常の回転、クォータニオンおよび空間回転として知られる実際のクォータニオンの構造に対応します。このプレゼンテーションの二次形式による通常の見方は次のとおりです。 $$ {u^2 + v^2 + w^2 + x^2 = q~q^*\,} $$
は、次のように見た場合、四元数上の直交群によって保存されます。 $$ {\mathbb{C}^4\,} $$
。 u が実数で、v、w、x が純粋な虚数の場合、部分空間が得られます。 $$ {M = \mathbb{R}^4\,} $$
これは時空のモデリングに適しています。
リング理論における位置
線形表現
行列積に注意してください。
- $$ {\begin{pmatrix}i & 0\\0 & -i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1\\-1 & 0\end{pmatrix}} $$=$$ {\begin{pmatrix}0 & i\\i & 0\end{pmatrix}} $$
ここで、これらの行列のそれぞれは、単位行列の負の値に等しい平方を持ちます。行列積が次のように解釈される場合
$$ {i~j = k\,} $$
、次に、四元数のグループと同型である行列のグループのサブグループを取得します。それに応じて、 - $$ {\begin{pmatrix}u+iv & w+ix\\-w+ix & u-iv\end{pmatrix}} $$四四元数qを表します。
任意の 2×2 複素行列が与えられると、それをその形状に回転させるための複素数値u 、 v 、 wおよびx が存在します。つまり、行列のリングはバイクォータニオンのリングと同型です。
代替複合プラン
w を純粋に想像上のものだと仮定します。
$$ {w = b~\iota\,} $$
、 または$$ {\iota~\iota = – 1\,} $$
。 (ここでは、 $$ {\iota\,} $$
四元数 i) と区別するための複雑な想像力のために i の代わりに。ここで、 r = wjの場合、その二乗は次のようになります。 $$ {r~r = (w j)(w j) = (w w)(j j) = b b (-1)(-1) = b^2\,} $$
。特に、 b = 1 または – 1 の場合、
$$ {r^2 = + 1\,} $$
。この発展は、四元数が、二乗して +1 を与えるrのような「代数エンジン」のソースであることを示しています。それで$$ {{a + b~\iota~j : a, b \in \mathbb{R}}\,} $$
分割複素数の環と同型の重四元数の部分環です。