リッチテンソルについて詳しく解説

導入

一般相対性理論の枠組み内では、重力場は時空の変形として解釈されます。この変形は、発明者である Gregorio Ricci-Curbastro にちなんで名付けられたRicci テンソルを使用して表現されます。

リッチ テンソルは、完全な曲率テンソルのトレースとして取得される次数 2 のテンソルです。リーマン多様体の場合、リーマン計量テンソルのラプラシアンと考えることができます。

リッチ テンソルは、一般相対性理論の主要方程式であるアインシュタイン方程式において特に重要な位置を占めています。これは 微分幾何学の基本的なオブジェクトでもあります。

数学的構築

リッチ テンソルは、テンソル インデックスの縮小を使用して多様体 (一般相対性理論の場合、時空) の曲率を表すリーマン曲率テンソルRから取得されます。

これは、特にクリストッフェル記号を使用して表現できます。クリストッフェル記号は、後者の曲率による、時空のある点から別の点への基本ベクトルの展開を表します。これらの係数は、(多様体の) 空間の計量に直接依存します。これは、空間内の距離を定義できる数学的ツールです。

数学的な観点から、アインシュタインの総和規則を使用すると、次の結果が得られます。

クリストッフェル記号は次のように表されます。

$$ { {\Gamma^\gamma}_{\alpha\beta} = \frac{1}{2} g^{\gamma\delta}(\partial_{\alpha}g_{\beta\delta} + \partial_{\beta}g_{\alpha\delta} – \partial_{\delta}g_{\alpha\beta}) } $$

これらの係数は、特に測地線の方程式、つまり、必ずしも直線ではない曲面空間内の 2 点間の最短経路を記述するために使用されます。

$$ { \frac{\mathrm d^2x^\alpha}{\mathrm ds^2}+{\Gamma^\alpha}_{\beta\gamma} \frac{\mathrm dx^\beta}{\mathrm ds}\frac{\mathrm dx^\gamma}{\mathrm ds}=0 } $$

曲率テンソルは、次の同じクリストッフェル係数を使用して表現されます。

$$ {{R^\delta}_{\alpha\beta\gamma} = \partial_{\alpha} {\Gamma^\delta}_{\beta\gamma} – \partial_{\beta} {\Gamma^\delta}_{\alpha\gamma} + {\Gamma^\delta}_{\alpha\varepsilon} {\Gamma^\varepsilon}_{\beta\gamma} – {\Gamma^\delta}_{\beta\varepsilon} {\Gamma^\varepsilon}_{\alpha\gamma} } $$

最終的にリダクションによって Ricci テンソルを取得します。

$$ {R_{\alpha\beta}={R^\gamma}_{\alpha\beta\gamma}} $$

その後、新しいリダクションを使用してスカラー曲率が推定されます。

R = g ^αβ R _αβ

アインシュタインテンソルの発散

$$ {\left[R^{\alpha\beta} – \frac{1}{2} g^{\alpha\beta} R\right]_{\alpha\beta} = 0} $$

この基本方程式は、計量テンソルの共変導関数の無効性を利用することによって証明されます。

アインシュタインテンソルとエネルギー運動量テンソルを特定することによって、一般相対性理論を確立するアインシュタイン方程式が得られます。

リーマン座標における曲面のテンソル

リーマンテンソル

ガウスは、リーマン座標でのかなり複雑だが単純な計算によって、面の曲率Kの式を発見しました。この式は、2次元で記述されるリーマン テンソルR _{x y x y}に等しくなります。

$$ { R_{xyxy}= -\frac12 \left(\frac{\partial^2 g_{xx}}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 g_{yy}}{\partial x^2}\right) } $$

ここで、 g _{x x}とg _{y y は}、リーマン座標、つまりローカル デカルト座標での計量の係数です。例を挙げると、オーストラリアではフランスと同じ座標系を使用することはできません。そうしないと、オーストラリア人が（私たちにとって）逆さまになってしまいます。リッチ テンソルは、逆計量g ^{i j} (上位インデックス) の関数として形成され、いわゆる「完全共変」リーマン テンソル (下位インデックス) R _{i j k l は}、一般関係によって形成されます。

リッチテンソル

R _{i k} = g ^{m n} R _{min i n k} = Σ g ^{m n} R _{min i n k}

g ^{x x} = 1 / g _{x x}およびg ^{y y} = 1 / g _{y y は、}直接計量の逆計量の要素であり、対角要素でもあります。アインシュタインの慣例では、いくつかの制限付きで記号 Σ を削除します。 2 次元では、これらの関係は次のように説明されます。

$$ {\left. R_{xx} = g^{xx} R_{xxxx} +g^{yy} R_{xyxy}\right.} $$

$$ {\left. R_{yy} = g^{xx} R_{xyxy} +g^{yy} R_{yyyy}\right.} $$

リーマン テンソルのビアンキ恒等式は次のように書かれます。

R _{a b c d} = − R _{b a c d} = − R _{a b d c}

a = b = c = d = x (または y) の場合、次のようになります。

R _{x x x x} = − R _{x x x x} = − R _{x x x x} = 0

したがって、私たちは

R _{x x x x} = R _{y y y =} 0

二次元でもそれは残る

$$ {R_{xx} = g^{yy}R_{xyxy} = \frac{1}{g_{yy}}R_{xyxy}} $$

$$ {R_{yy} =g^{xx}R_{xyxy} = \frac{1}{g_{xx}}R_{xyxy}} $$

したがって、対角計量の曲面のリッチ テンソルには 2 つの異なる成分がありますが、リーマンのテンソルには非ゼロで符号までの 1 つの成分しかありません。