数学におけるエルミート多項式は、チャールズ エルミートにちなんで名付けられた一連の多項式です。それらは次のように定義されます。
- $$ {H_n(x)=(-1)^n e^{x^2/2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2/2}} $$(いわゆる確率形式)
- $$ {H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}} $$（いわゆる物理的な形）
2 つの定義は完全に同等ではありません。 1 つの定義の多項式は、他の定義に比べて「圧縮」または「拡張」されます。
次の関係を使用して、あるフォームから別のフォームに移行できます。
$$ {H_n^{phys}(x) = 2^{n/2}H_n^{proba}(\sqrt{2}\,x)\,\!} $$
。最初のエルミート多項式は次のとおりです (「確率的」形式)。
- $$ {H_0(x)=1~} $$
- $$ {H_1(x)=x~} $$
- $$ {H_2(x)=x^2-1~} $$
- $$ {H_3(x)=x^3-3x~} $$
- $$ {H_4(x)=x^4-6x^2+3~} $$
- $$ {H_5(x)=x^5-10x^3+15x~} $$
- $$ {H_6(x)=x^6-15x^4+45x^2-15~} $$
実際に、係数が
$$ {x^{p-2}~} $$
の$$ {{H_p}~} $$
は -p(p-1)/4 の価値があり、もちろん係数です$$ {x^{p-1}~} $$
の$$ {{H_p}~} $$
は常にゼロです。「物理的」形式では、最初の多項式は次のとおりです。
- $$ {H_0(x)=1~} $$
- $$ {H_1(x)=2x~} $$
- $$ {H_2(x)=4x^2-2~} $$
- $$ {H_3(x)=8x^3-12x~} $$
- $$ {H_4(x)=16x^4-48x^2+12~} $$
- $$ {H_5(x)=32x^5-160x^3+120x~} $$
- $$ {H_6(x)=64x^6-480x^4+720x^2-120~} $$
直交性
シーケンスのn番目の関数は、次数nの多項式です。これらの多項式は測定に対して直交します。
- $$ {e^{-x^2/2}\,dx,} $$
つまり:
- $$ {\int_{-\infty}^{+\infty} H_n(x)H_m(x)\,e^{-x^2/2}\,dx=n!\sqrt{2\pi}~\delta_{nm}} $$
ここで、δ nm はクロネッカー記号であり、 n = mの場合は 1、それ以外の場合は 0 です。これらの関数は、次の特性を満たすヒルベルト空間の直交基底を形成します。
- $$ {\int_{-\infty}^{+\infty}\left|f(x)\right|^2\,e^{-x^2/2}\,dx< +\infty,} $$
- $$ {\langle f,g\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\overline{g(x)}\,e^{-x^2/2}\,dx.} $$
さまざまな特性
n次エルミート多項式は次の微分方程式を満たします。
- $$ {H_n”(x)-2xH_n'(x)+2nH_n(x)=0.\,} $$
次のような繰り返しシーケンスもあります。
- $$ {H_{n+1}(x)- xH_{n}=-(n(n-1)/4)H_{n-2}(x).\,} $$
多項式は次の性質を満たします
- $$ {H_n'(x)=nH_{n-1}(x),\,} $$
これは次のように書くことができます
- $$ {H_n(x+y)=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^k H_{n-k}(y)} $$
エルミート多項式
