数学における逆数マップとは、簡単に言えば、「与えられたマップが行うこととまったく逆のことを行う」関数です。相互アプリケーションにより、特定のアプリケーションで画像から要素を見つけることが可能になります。言い換えれば、相互アプリケーションは元のアプリケーションが行ったことを取り消します。
例
機能を考えてみる
$$ {f : x \mapsto 3x+2} $$
。私たちはポーズをとります:
- y = 3x + 2
対(x,y)を反転します。
- x = 3 y + 2
そしてそこで孤立します:
- $$ {x – 2 = 3y \Leftrightarrow \frac{x-2}{3} = y} $$
したがって、相互適用は次のようになります。
- $$ {f^{-1} : x \mapsto \frac{x-2}{3}} $$
指数「-1」は累乗ではなく、 f − 1 は乗算の関数の逆関数には対応しませんが、関数の合成の逆関数に対応します。注記も見つかります
$$ {{}^r\!f} $$
とf r はこの曖昧さを取り除きます。実際、関数f が相互適用できるようにするには、それが全単射的でなければなりません。
- 到着セットの各要素はfによって到達する必要があります。そうでないと、特定の要素のf − 1によって画像を定義する方法がありません。
- 到着セットの各要素はfによって 1 回だけ到達する必要があります。そうしないと、相互アプリケーションがこの要素を複数の値に送信することになります。
正式な定義
形式的には、 yからfまでの集合の全単射写像fの逆写像です。
- すべてのxについて$$ {f^{-1}(f(x)) = x\,} $$f ( x )には一意の先行詞x があるためです。
- Yのすべてのyについて、 $$ {f(f^{-1}(y)) = y\,} $$なぜなら、 f はyの一意の先行詞をyに送信するからです。
書けること:
$$ {f^{-1}\circ f={\rm Id}_{X}} $$
そして$$ {f\circ f^{-1}={\rm Id}_{Y}} $$
。必ずしも全単射的ではない関数の逆適用を定義することができます。アプリケーションg を、f と同じ定義セットを持ち、到着集合が f のイメージに制限され、この要素のイメージ上の要素をfによって送信するものと考えることによって可能です。 ;したがって、相互適用は、 fの画像の要素にその先行詞をfによって関連付ける多形式適用になります。
IとJ を次の 2 つの部分とします。
$$ {\R} $$
そして$$ {f:I\rightarrow J\,} $$
全単射関数。関数f をデカルト座標系でグラフィカルに表すと、 f − 1のグラフは、方程式y = xの直線に関してfのグラフと直交対称になります。代数的には、次の方程式を解くことでfの逆数適用を決定します。
- y = f ( x )
未知のx を取得し、 yとx を交換して取得します。
- y = f − 1 ( x ) 。
これは必ずしも簡単なわけではありませんし、可能であるとは限りません。
関数fが解析的であれば、ラグランジュの反転定理を使用できます。
