導入
Argyris 関数(またはArgyris 要素) は、有限要素法のツールです。これらは、三角形のエッジの既知のデータ (頂点の値、頂点の一次導関数と二次導関数の値など) のみを使用して、メッシュの三角形内の多項式を記述するために使用されます。 「エッジ関連の値」として）。利点は、数値計算に使用できる有限次元空間に還元できることです。
数値モデリングで使用されるこれらの関数は 1950 年代に導入されました。しかし、実際には、解決すべき問題に応じて他のスタイルの関数も使用されます。
導入
コンテクスト
John Hadji Argyris (1913-2004) は、プレート理論などの物理学、力学などの微分方程式のデジタル分解に使用される有限要素法の分野における先駆者の 1 人です。彼のコンセプトは第二次世界大戦中に初めて登場し、最初の結果は極秘となりました。
Argyris 関数の原理は、ドメインのメッシュに関連するデータのみを使用して多項式を表現することで構成されます。明らかに、他の関数も有限要素法 (ラグランジュ、ラヴィアート・トーマス、ネデレック、ガウスラバット、エルミート、モーリー、ベルなど) で使用されており、それぞれ長所と短所があります (すべては解決したい問題によって異なります)。
Argyris の要素は、次元 2 (
研究枠組み
私たちはそこに身を置きます
Tに関連する Argyris 関数はベクトル空間の基本関数です
正式なアプローチ
要素
M = a 0 + a 1 x + b 1 y + a 2 x 2 + b 2 x y + c 2 y 2 + a 3 x 3 + b 3 x 2 y + c 3 x y 2 + d 3 y 3 + a 4 x 4 + b 4 x 3 y + c 4 x 2 y 2 + d 4 x y 3 + e 4 y 4 + a 5 x 5 + b 5 x 4 y + c 5 x 3 y 2 + d 5 x 2 y 3 + e 5 xy 4 + f 5 y 5 。
したがって、係数のデータのみが
これらの 21 の係数を決定できるようにするには、21 の独立した関係 (条件) が必要です。これを自由度と呼びます。
考えられる基底は、 {1, x , y , x 2 , x y , y 2 , x 3 , x 2 , y 2 , y 3, x 4 , x 3 y , x 2 y 2 , x y 3 , y 4です。 , x 5 , x 4 y , x 3 y 2 , x 2 y 3 , x y 4 , y 5 } : これを標準基底と呼びます。
実際には、このベースで 21 個の係数を見つけることは非常に困難です (そして何よりも実用的ではありません)。これが、Argyris の機能から形成された別の基礎を定式化する理由です。それらは指定された条件にリンクされています。
- 各頂点における関数 M の値 (3 つの関係)。
- 各頂点における関数 M の一次導関数の値 (6 つの関係)。
- 各頂点における関数 M の二次導関数の値 (9 つの関係)。
- 各エッジの「法線にリンクされた」値 (3 つのリレーション)。
注 1:これらの条件は一意ではありません。他の条件も常に見つかりますが、これらは適用するのが最も簡単です。
注 2:最後の点は、「正常関連」の値に関するものです。これは少し特殊な定義であり、作品によって異なります。ここでは、最も一般的に使用される定義を示します。
これらのデータを使用すると、任意の三角形のすべての Argyris 関数を計算できます。次の線形システム AU=B を解くだけで十分です。
- A は 21*21 の行列です。
- U は、21 個の係数で構成されるサイズ 21 のベクトルです。
- B はサイズ 21 のベクトルで、その成分は適切な条件に対応する 1 つを除いて 0 です。
Argyris 関数の例は、括弧内に示された条件を含むセクションにあります。
注 3:この系を解くことは、行列 A を逆行列にすることと同じです。
実際には、三角形の数が膨大になる可能性があるため (たとえば、数百万のオーダー)、各三角形のすべての基底関数を計算することは考えられません。これが、頂点として点 (0;0)、(1;0)、(0;1) を持つ特定のいわゆる参照三角形の関数を計算し、特定の三角形の Argyris 関数を「推定」する理由です。