線形代数では、正方行列A は、その転置がその反対のものと等しい場合、非対称であると言われます。つまり、次の方程式を満たす場合:
- t A = – A
つまり、 A = ( a i,j ) の形式で係数を使用して書かれた場合:
- すべてのiとjについて、 a i,j = – a j,i
たとえば、次の行列は非対称です。
- $$ {\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix}} $$
行列の係数が特性 2 のフィールドに値を持つ場合は非常に特殊です。この場合、 − A = Aであるため、行列は対称である限り非対称です。以下のすべてにおいて、行列の係数は 2 とは異なる特性を持つフィールドの値を持ちます。
非対称行列の主対角のすべてのエントリはゼロです。実際、対角の各要素もa i,j = – a j,iを検証する必要があります。したがって、この特性を持つ唯一の数値は0 です。したがって、反対称行列の痕跡はゼロになります。
対称行列の空間と非対称行列の空間は、正方行列の空間に補足されます。実際、正方行列は次のように一意に分解されます。
正方行列の空間に正準スカラー積を与えた場合、これらの空間は直交します。その式の 1 つは正確には次のとおりです。
( n , n ) 型の非対称行列は、次元( n 2 – n )/2 のベクトル空間を形成します。正統的な基礎は家族です
実際の場合:
このベクトル空間は、直交群O( n ) への接空間です。この意味で、非対称行列を「微小回転」に例えることができます。
実数の非対称行列は複素体上で対角化可能であり、その固有値は純粋な虚数です。実際、 Aが実対称であれば、 i A はエルミート行列になります。
実際、( n , n ) 型の非対称行列は、リー括弧を使用してリー代数を形成します。
- $$ {[A,B] = AB – BA\,} $$
そしてそれはリー群O( n ) に関連付けられたリー代数です。
直交行列G は、1 に等しい行列式を持ちます。つまり、次のような非対称行列Aが正確に存在する場合、単位行列が見つかる直交群の連結成分の要素です。
- $$ {G=\exp(A)=\sum_{n=0}^\infty \frac{A^n}{n!}.} $$