導入
境界層は、物体と周囲の流体の間の相対運動中に、その粘性の結果として生じる、物体と周囲の流体の間の界面ゾーンです。流体力学（空気力学、流体力学）、気象学、海洋学などにおいて重要な要素です。
説明
実際の流体が固定されていると思われる壁に沿って流れるとき、壁上の速度はゼロであり、障害物から遠く離れた無限大では、乱されていない流れの速度と等しくなります。したがって、壁に垂直な場合、速度は常に 0 から最大値の間で変化する必要があります。変動の法則は、隣接する層間に摩擦を引き起こす流体の粘度に依存します。最も遅い層は最も速い層を減速させる傾向があり、逆に最も速い層は加速する傾向があります。
このような条件下では、粘度が高いと速度が可能な限り均一になります。逆に、流体の粘性がそれほど高くない場合、さまざまな層はより独立しています。無限遠での速度は障害物から近い距離まで維持され、境界の薄い厚さでは速度の変化が大きくなります。層。
最初のケースでは、粘性流体の一般方程式を使用する必要があります。 2 番目では、実験結果によって補足された簡略化された方程式を境界層で使用できます。境界層によって「肥大化」した壁を越えて適用される完全な流体の方程式は、これも単純ですが、計算の境界条件を提供します。
実際には、粘度自体が関係しているわけではありません。流体力学では常にそうであるように、現象を特徴付けるのは無次元の数、つまりレイノルズ数です。これは、速度に関係する力と摩擦力の比を表します。したがって、粘度を高める代わりに、速度を下げるか、障害物の寸法を小さくすることで、同様の現象を得ることができます。
境界層方程式
境界層方程式を理解してモデル化することは、おそらく流体力学における最も重要な進歩の 1 つです。スケーリング解析を使用すると、ナビエ・ストークス方程式を簡略化した形式で記述することができます。実際、元のナビエ・ストークス方程式は楕円形ですが、簡略化された方程式は放物線形です。これにより、方程式を解くことが大幅に簡素化されます。簡略化は、流体が流れる空間を境界層と残りの空間の 2 つに分割することに基づいています (残りの部分は多くの方法で簡単に解決できます)。境界層は、解くのが簡単な偏微分方程式によって支配されます。 デカルト座標における非圧縮性 2 次元流れのナビエ ストークス方程式と連続方程式は次のとおりです。
- $$ { {\partial u\over\partial x}+{\partial v\over\partial y}=0 } $$
- $$ { u{\partial u \over \partial x}+v{\partial u \over \partial y}=-{1\over \rho} {\partial p \over \partial x}+{\nu}\left({\partial^2 u\over \partial x^2}+{\partial^2 u\over \partial y^2}\right) } $$
- $$ { u{\partial v \over \partial x}+v{\partial v \over \partial y}=-{1\over \rho} {\partial p \over \partial y}+{\nu}\left({\partial^2 v\over \partial x^2}+{\partial^2 v\over \partial y^2}\right) } $$
ここで、u と v は速度の成分、 ρは密度、p は圧力、 ν は点における流体の動粘度です。
レイノルズ数が高い流れは簡素化できます。単純化は、空間を 2 つの領域に分割することで構成されます。 1 つ目は流体の流れが粘度の影響を受けない領域 (空間の大部分) で、もう 1 つの領域 (ドメイン表面に近い) は粘度が重要な役割を果たす領域 (境界層) です。この場合、 uとv はそれぞれ、境界層内の流線上の速度と流線に垂直な速度です。スケーリング解析を使用すると、境界層の運動方程式は次のように単純化されます。
- $$ { {\partial u\over\partial x}+{\partial v\over\partial y}=0 } $$
- $$ { u{\partial u \over \partial x}+v{\partial u \over \partial y}=-{1\over \rho} {\partial p \over \partial x}+{\nu}{\partial^2 u\over \partial y^2} } $$
流体が非圧縮性の場合 (標準状態の液体の場合):
- $$ { {1\over \rho} {\partial p \over \partial y}=0 } $$
漸近分析により、法線速度vは流線上の速度uに比べて小さく、流線方向の変化の特性は一般に法線方向ほど重要ではないことがわかります。
静圧p はyに依存しないため、境界層の端の圧力が流線圧力になります。外部圧力はベルヌーイの定理を適用して計算できます。この場合、 u 0 は境界層の外側の流体速度であり、ここでuとu 0 は平行です。 p を代入すると、方程式は次のようになります。
- $$ { u{\partial u \over \partial x}+v{\partial u \over \partial y}=u_0{\partial u_0 \over \partial x}+{\nu}{\partial^2 u\over \partial y^2} } $$
境界条件あり
- $$ { {\partial u\over\partial x}+{\partial v\over\partial y}=0 } $$
静圧p が流体の流れの方向に依存しない流体の場合、次のようになります。
- $$ { {\partial p\over\partial x}=0 } $$
したがって、 u 0 は一定のままです。
簡略化された運動方程式は次のとおりです。
- $$ { u{\partial u \over \partial x}+v{\partial u \over \partial y}={\nu}{\partial^2 u\over \partial y^2} } $$
これらの近似は、多くの科学および工学の問題で使用されます。前の解析は任意の境界層 (層流または乱流) を対象としていますが、方程式は主に層流境界層を研究するために使用されます。実際には、速度変動がないため、平均速度は瞬間速度に対応します。