導入
三角恒等式は、三角関数を含む関係であり、関係に含まれる変数のすべての値について検証されます。これらの恒等式は、三角関数を含む式を簡略化する必要がある場合に役立ちます。したがって、それらは問題解決のための有用な「ツールボックス」を構成します。
三角関数は、「非三角関数」を統合するために積分でよく使用されます。通常のプロセスは、三角関数を使用して変数の変更を実行し、次に三角恒等式で得られた積分を単純化することで構成されます。
表記法: 三角関数では、任意の実数xに対してsin 2 ( x ) = (sin( x )) 2 、… となる関数sin 2 、 cos 2などを定義します。
定義から
- $$ { \tan (x) = \frac {\sin (x)} {\cos(x)} \qquad \operatorname{cotan}(x) = \frac{1} {\tan (x)} = \frac {\cos (x)} {\sin(x)} } $$
- $$ { \operatorname{sec}(x) = \frac{1} {\cos(x)} \qquad \operatorname{cosec}(x) = \frac{1} {\sin(x)} } $$
ピタゴラスの定理より
- $$ { \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \qquad \tan^2(x) + 1 = \sec^2(x) \qquad \cot^2(x) + 1 = \csc^2(x) } $$
三角円に関する性質
対称性、パリティ
| パリティ – 軸反射θ = 0 | 軸反射θ = π/4 | 軸反射θ = π/2 |
|---|---|---|
$$ { \begin{align} \sin(0 -\theta) &= -\sin \theta \\ \cos(0 -\theta) &= +\cos \theta \\ \tan(0 -\theta) &= -\tan \theta \\ \mathrm{cotan} (0 -\theta) &= -\mathrm{cotan} \theta \end{align} } $$ | $$ { \begin{align} \sin(\frac{\pi}{2} – \theta) &= +\cos \theta \\ \cos(\frac{\pi}{2} – \theta) &= +\sin \theta \\ \tan(\frac{\pi}{2} – \theta) &= +\mathrm{cotan} \theta \\ \mathrm{cotan}(\frac{\pi}{2} – \theta) &= +\tan \theta \end{align} } $$ |
周期性、シフト
| のシフト $$ {\dfrac{\pi}{2}} $$ | πのシフト (タンとコタンの時代) | 2πオフセット (sinとcosの期間) |
|---|---|---|
$$ { \begin{align} \sin(\theta + \frac{\pi}{2}) &= +\cos \theta \\ \cos(\theta + \frac{\pi}{2}) &= -\sin \theta \\ \tan(\theta + \frac{\pi}{2}) &= -\mathrm{cotan} \theta \\ \mathrm{cotan}(\theta + \frac{\pi}{2}) &= -\tan \theta \end{align} } $$ | $$ { \begin{align} \sin(\theta + \pi) &= -\sin \theta \\ \cos(\theta + \pi) &= -\cos \theta \\ \tan(\theta + \pi) &= +\tan \theta \\ \mathrm{cotan}(\theta + \pi) &= +\mathrm{cotan} \theta \\ \end{align} } $$ | $$ { \begin{align} \sin(\theta + 2\pi) &= +\sin \theta \\ \cos(\theta + 2\pi) &= +\cos \theta \\ \tan(\theta + 2\pi) &= +\tan \theta \\ \mathrm{cotan}(\theta + 2\pi) &= +\mathrm{cotan} \theta \end{align} } $$ |
加算と差の公式
これらの公式を見つける最も簡単な方法は、複素解析でオイラーの公式を使用することです。
- $$ {\sin (a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \, } $$
- $$ {\sin (a – b) = \sin a \cos b – \cos a \sin b \, } $$
- $$ {\cos (a + b) = \cos a \cos b – \sin a \sin b \, } $$
- $$ {\cos (a – b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b \, } $$
覚えておくための方法: 「コサインは厄介です (非社会的で反体制的です!): コサインは副鼻腔と共鳴せず、さらにサインを変えます。」
- $$ {\tan (a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 – \tan a \tan b} \, } $$
これらの等式の興味深い結果は、サインとコサインの線形結合をサインに換算できることです。
- $$ {\alpha\sin wx+\beta\cos wx=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}\cdot\sin(wx+\varphi)} $$
または
- $$ {\varphi={\rm arctan}(\beta/\alpha)} $$α が正の場合、および$$ {\varphi={\rm arctan}(\beta/\alpha) + \pi } $$さもないと
円の弦の特性を使用したものや、角度の余弦と内積の関係を使用したものなど、さまざまな例が考えられます。ここで提案するデモでは、コサインとサインの両方の式を示します。参照プロパティの変更を利用します。
三角円上で点M を次のように考えます。
$$ {(\vec i, \overrightarrow{OM}) = a} $$
とベースなどの点M ‘ $$ {(\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{OM’})} $$
または直接正規直交。 2 つのベクトルの基底には、 $$ {(\vec i, \vec j)} $$
それぞれ座標(cos( a ), sin( a ))と( − sin( a ), cos( a ))点N を次のように考えます。
$$ {( \overrightarrow{OM}, \overrightarrow{ON}) = b} $$
。基地内で
$$ {(\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{OM’})} $$
、ベクトル$$ {\overrightarrow{ON}} $$
a は座標(cos( b );sin( b ))を表します。これはベクトルの等価性をもたらします。 - $$ {\overrightarrow{ON} = \cos(b)\overrightarrow{OM}+ \sin(b)\overrightarrow{OM’}} $$
- $$ {\overrightarrow{ON} = \cos(b)(\cos(a) \vec i + \sin(a) \vec j) + \sin(b)(-\sin(a)\vec i + \cos(a) \vec j)} $$
- $$ {\overrightarrow{ON} = (\cos(b)\cos(a) – \sin(b)\sin(a)) \vec i + (\cos(b)\sin(a) + \sin(b)\cos(a)) \vec j} $$
一方で、以来、
$$ { (\vec i, \overrightarrow{ON}) = (\vec i, \overrightarrow{OM}) + (\overrightarrow{OM},\overrightarrow{ON}) = a + b} $$
、 我々は持っています： - $$ {\overrightarrow{ON} = \cos(a+b) \vec i + \sin(a+b) \vec j} $$
その後、同定によって式が得られます。
接線の式は商によって得られます。
- $$ {\tan(a+b) = \frac{\sin(a+b)}{\cos(a+b)} = \frac{\cos(b)\sin(a) + \sin(b)\cos(a)}{\cos(b)\cos(a) – \sin(b)\sin(a)} = \frac{\tan(a) + \tan(b)}{1 – \tan(a)\tan(b)}} $$
分子と分母をcos( a )cos( b )で割ることにより
三角関数の方程式
- $$ {\cos x = \cos a \Leftrightarrow x=a+2n\pi \quad \text{ou} \quad x=-a+2n\pi \qquad(n\in\mathbb{Z})} $$
- $$ {\sin x = \sin a \Leftrightarrow x=a+2n\pi \quad \text{ou} \quad x=\pi-a+2n\pi \qquad(n\in\mathbb{Z})} $$
- $$ {\tan x = \tan a \Leftrightarrow x=a+n\pi \qquad(n\in\mathbb{Z})} $$
シンプソンの公式
積を和に変換する
- $$ {\cos p\cos q=\frac{1}{2}\bigl(\cos(p+q)+\cos(p-q)\bigr)} $$
- $$ {\sin p\cos q=\frac{1}{2}\bigl(\sin(p+q)+\sin(p-q)\bigr)} $$
- $$ {\sin p\sin q=\frac{1}{2}\bigl(\cos(p-q)-\cos(p+q)\bigr)} $$
これらの式は、加算式を使用して右辺を展開することで証明できます。
和を積に変換する
- $$ {\sin p + \sin q = 2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}} $$
- $$ {\sin p – \sin q = 2\cos\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2}} $$
- $$ {\cos p + \cos q = 2\cos\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}} $$
- $$ {\cos p – \cos q = -2\sin\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2}} $$
p を次のように置き換えるだけです
$$ {\frac{p+q}{2}} $$
そしてqによって$$ {\frac{p-q}{2}} $$
和積変換式。覚えておくべき記憶装置: 「Si、coco、si;ココナッツ、はいはい！正弦と加算を優先し、最後まで−２」となります。
- $$ {\tan p + \tan q = \frac{\sin(p+q)}{\cos p\,\cos q}} $$
複製と半角の公式
倍角の公式
倍角公式とも呼ばれ、これらは、加算公式でaとb をxに置き換え、最後の 2 つにピタゴラスの定理を使用するか、 n = 2のド モアブル公式を使用することによって取得できます。
- $$ {\sin 2x = 2 \sin x\cos x\, } $$
- $$ {\cos 2x= \cos^2 x – \sin^2 x = 2 \cos^2 x-1 = 1-2 \sin^2 x \, } $$
- $$ {\tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 – \tan^2 x} = \frac{2 \cot x}{\cot^2 x- 1} = \frac{2}{\cot x – \tan x}} $$
コサイン複製の公式の興味深い結果は次のとおりです。
$$ {\cos\left(\frac{\pi}{2^n}\right)=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}} $$
n-1 の部首の下に「2」が付きます。限界まで進むと、次のことが実証されます。
$$ {\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}=2} $$
二乗リダクション公式
これらの公式を使用すると、 cos 2 ( x ) 、 sin 2 ( x ) 、およびTan 2 ( x )を倍角の余弦の関数として書くことができます。
- $$ {\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}} $$
- $$ {\sin^2 x = \frac{1 – \cos(2x)}{2}} $$
- $$ {\tan^2 x = \frac{1 – \cos(2x)}{1 + \cos(2x)}} $$
半角の公式
xを次のように置き換えると、
$$ {\frac{x}{2}} $$
二乗リダクション公式で次の式を探します。 $$ {\cos(\frac x2)} $$
そして$$ {\sin(\frac x2)} $$
、次を取得します。 - $$ {\left|\cos\left(\frac{x}{2}\right)\right| = \sqrt{\left(\frac{1 + \cos x}{2}\right)}} $$
- $$ {\left|\sin\left(\frac{x}{2}\right)\right| = \sqrt{\left(\frac{1 – \cos x}{2}\right)}} $$
掛け算することで
$$ {\tan(\frac x2)} $$
による$$ {\frac{2\cos(x/2)}{2\cos(x/2)}} $$
それを次のように置き換えます$$ {\frac{\sin(x/2)}{\cos(x/2)}} $$
倍角の公式に従って分子でsin xを取得し、分母で$$ {2\cos^2(\frac x2)} $$
二乗換算式によれば、これはcos x + 1にも等しくなります。2 番目の式は、分子と分母にsin xを乗算し、ピタゴラスの定理と注目すべき恒等式1 − c o s 2 x = (1 − c o s x )(1 + c o s x ) を使用して簡略化することで最初の式から得られます。
- $$ {\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sin x}{\cos x + 1} = \frac{1 – \cos x}{\sin x}} $$
「逆正接の半分」を含む公式
置いたら
$$ {t=\tan(\frac{x}{2})} $$
、 我々は持っています： - $$ {\cos(x)=\frac{1-t^2}{1+t^2}} $$
- $$ {\sin(x)=\frac{2t}{1+t^2}} $$
- $$ {\tan(x)=\frac{2t}{1-t^2}} $$
統合で変数を変更する場合は、以下を追加します。
- $$ { \mathrm d x = \frac{2\mathrm d t}{1 + t^2}} $$
これらの公式を使用すると、三角関数の計算を有理分数の計算に置き換えて簡略化することができます。また、単位円の有理点のセットを決定することも可能になります。