導入
ル カムの不等式は、ルシアン ル カムによるもので、パラメータが小さい多数の独立したベルヌーイ変数の合計の法則がポアソンの法則に収束する速度を指定します。彼のデモンストレーションは、洗練されていますが、あまり計算を必要とせず、Wolfgang Döblin によって普及された結合方法を示しています。
声明
どちらか
$$ {\scriptstyle\ (X_{1,n}, X_{2,n},\dots, X_{a_n,n})_{n\ge 1}\ } $$
独立したベルヌーイ確率変数とそれぞれのパラメーターのテーブル$$ {\scriptstyle\ p_{k,n}.\ } $$
注意します- $$ {S_n=\sum_{k=1}^{a_n}\,X_{k,n}\quad\text{et}\quad\lambda_n\ =\ \mathbb{E}[S_n]=\sum_{k=1}^{a_n}\,p_{k,n}.\ } $$
それで
Le Cam 不等式—自然整数の任意の集合Aについて、
$$ {\left|\mathbb{P}\left(S_n\in A\right)-\sum_{\ell\in A}\,\frac{\lambda_n^\ell\,e^{-\lambda_n}}{\ell!}\right|\ \le\ \sum_{k=1}^{a_n}\,p_{k,n}^2.} $$
特に、次の 2 つの条件が満たされるとすぐに、 S n はパラメーターλ を伴うポアソンの法則に近似に従います。
- $$ {\lim_n \sum_{k=1}^{a_n}\,p_{k,n}^2\,=\,0.\ } $$
$$ {\lim_n \lambda_n\,=\,\lambda>0,\ } $$
それに応じて、
デモンストレーション
ベルヌーイの法則とポアソンの法則の結合
このアイデアは、確率法則μ pを平面上に示し、その最初の周縁はベルヌーイの法則、 2 番目の周縁はポアソン法則、両方の期待値p 、たとえば最初の二等分線の重みが最大であることを示すことです。言い換えれば、適切に選択された確率空間上で 2 つの実際の確率変数XとY を構築する必要があります。
$$ {\scriptstyle\ \mathbb{P}(X\neq Y)\ } $$
最小であるか、少なくとも十分に小さいμ p は、カップル(X,Y)の結合法則になります。それは明らかです$$ {\mathbb{P}(X=Y=k)\le \min\left(\mathbb{P}(X=k),\mathbb{P}(Y=k)\right),} $$
となることによって
$$ {\mathbb{P}(X=Y)\le \sum_k\ \min\left(\mathbb{P}(X=k),\mathbb{P}(Y=k)\right).} $$
ポアソン-ベルヌーイの場合、この限界は、ルベーグ測度で提供される区間]0,1[でXとY を構築するために、逆定理を使用することによって到達されます。それで
$$ {X(\omega)\ =\ 1\!\!1_{[1-p,1[}(\omega),} $$
その間
$$ {Y(\omega)\ =\ 1\!\!1_{[e^{-p},(1+p)e^{-p}[}(\omega)\,+\,2\,1\!\!1_{[(1+p)e^{-p},(1+p+(p^2/2))e^{-p}[}(\omega)\,+\,\dots,} $$
この場合、 XとY は次の間隔で一致します。
- ]0,1-p[ 、2 つの変数の価値は 0、
- および[e -p ,(1+p)e -p [ 、ここで 2 つの変数は 1 に等しい。
2 つの変数は、これら 2 つの区間の和集合の補数、つまり[1-p,1[ \ [e -p ,(1+p)e -p [ ]で異なります。それで、
$$ {\mathbb{P}(X=Y)= \sum_k\ \min\left({\scriptstyle\mathbb{P}(X=k),\mathbb{P}(Y=k)}\right)=\min(1-p,e^{-p})+\min(p,pe^{-p})=1-p+pe^{-p},} $$
そして
$$ {\mu_p(\{(x,y)\,|\,x\neq y\})\ =\ \mathbb{P}(X\neq Y)\ =\ p\left(1-e^{-p}\right)\ \le\ p^2.} $$
結論
一連の独立した確率変数が与えられます。
$$ {\scriptstyle\ (Z_{k,n})_{1\le k\le n},\ } $$
各項の確率則などの平面内の値を持つ$$ {\scriptstyle\ Z_{k,n}\ } $$
次のうちのは$$ {\scriptstyle\ \mu_{p_{k,n}}.\ } $$
注意します$$ {\scriptstyle\ X_{k,n}\ } $$
そして$$ {\scriptstyle\ Y_{k,n}\ } $$
の 2 つの座標$$ {\scriptstyle\ Z_{k,n},\ } $$
そして私たちは置きます$$ {W_n=\sum_{k=1}^{a_n}\,Y_{k,n}.} $$
それで ：
- ザ$$ {\scriptstyle\ X_{k,n}\ } $$独立しており、パラメータのベルヌーイの法則に従います$$ {\scriptstyle\ p_{k,n}\ ;} $$
- したがって、それらの合計S nには、私たちが研究したい法則があります。
- ザ$$ {\scriptstyle\ Y_{k,n}\ } $$独立しており、パラメータのポアソンの法則に従います。$$ {\scriptstyle\ p_{k,n}\ ;} $$
- W n はパラメータのポアソン分布に従います$$ {\scriptstyle\ \lambda_n\ =\ \sum_{k=1}^{a_n}\,p_{k,n},\ } $$パラメータに依存しないポアソン変数の合計$$ {\scriptstyle\ p_{k,n}\ ;} $$
- 特に、次について提案された近似は、 $$ {\scriptstyle\ \mathbb{P}\left(S_n\in A\right)\ } $$たまたま次のとおりです:
$$ {\mathbb{P}\left(W_n\in A\right)\ =\ \sum_{\ell\in A}\,\frac{\lambda_n^\ell\,e^{-\lambda_n}}{\ell!}\ ;} $$
- $$ {\scriptstyle\ \mathbb{P}(X_{k,n}\neq Y_{k,n})\ \le\ p_{k,n}^2.} $$
我々は持っています
$$ {\begin{align} \mathbb{P}\left(S_n\in A\right)-\mathbb{P}\left(W_n\in A\right)&\le\mathbb{P}\left(S_n\in A\right)-\mathbb{P}\left(W_n\in A\text{ et }S_n\in A\right) \\ &=\mathbb{P}\left(S_n\in A\text{ et }W_n\notin A\right) \\ &\le\mathbb{P}\left(S_n\neq W_n\right) \end{align}} $$
そして、 W nの役割とS nの役割を交換することにより、
$$ {\left| \mathbb{P}\left(S_n\in A\right)-\mathbb{P}\left(W_n\in A\right)\right|\le\mathbb{P}\left(S_n\neq W_n\right). } $$
さらに、
$$ {\{S_n\neq W_n\}\ \Rightarrow\ \left\{\exists k\text{ tel que }X_{k,n}\neq Y_{k,n}\right\},} $$
私たちはそれを推測します
$$ {\{\omega\in\Omega\,|\,S_n(\omega)\neq W_n(\omega)\}\ \subset\ \bigcup_{1\le k\le a_n}\left\{\omega\in\Omega\,|\,X_{k,n}(\omega)\neq Y_{k,n}(\omega)\right\},} $$
最終的に
$$ { \mathbb{P}\left(S_n\neq W_n\right)\ \le\ \sum_{1\le k\le a_n}\mathbb{P}\left(\,X_{k,n}\neq Y_{k,n}\right)\ \le\ \sum_{1\le k\le a_n}\ p_{k,n}^2. } $$
結果: ポアソンパラダイム
聞いてみましょう
- $$ {M_n=\max_{1\le k\le a_n}\,p_{k,n}.} $$
次のような不平等があります。
- $$ {M_n^2\le\sum_{1\le k\le a_n}\,p_{k,n}^2\le M_n\lambda_n,\quad\text{et}\quad a_n\ge \lambda_n/M_n,} $$
したがって、上記の 2 つの条件は次のようになります。
- $$ {\lim_n M_n\,=\,0,\ } $$
- $$ {\lim_n a_n\,=\,+\infty.\ } $$
結果: ポアソンパラダイム—小さなパラメータの多数の独立ベルヌーイ変数の合計S n は、パラメータのポアソン分布にほぼ従う
$$ {\scriptstyle\ \mathbb{E}[S_n]. \ } $$
