導入
シェッフェの補題は、密度を伴う確率変数のシーケンスに関する法則の収束基準です。
声明とデモンストレーション
シェッフェの補題— Let
$$ {\scriptstyle\ (f_{n})_{n\ge 0}\ } $$
同じ空間上で定義された一連の確率密度$$ {\scriptstyle\ E\ } $$
同じ測定値と比較した場合$$ {\scriptstyle\ \mu\ } $$
の上$$ {\scriptstyle\ E\ } $$
。次のように仮定します。 $$ {\scriptstyle\ (f_{n})_{n\ge 0}\ } $$
収束する$$ {\scriptstyle\ \mu-\ } $$
確率密度に向かってほぼどこでも$$ {\scriptstyle\ f.\ } $$
それで- $$ {\scriptstyle\ (f_{n})_{n}\ } $$に向かって収束する$$ {\scriptstyle\ f\ } $$で$$ {\scriptstyle\ L_{1},\ } $$
- 確率変数の場合$$ {\scriptstyle\ X_{n}\ } $$そして$$ {\scriptstyle\ X\ } $$それぞれの密度がある$$ {\scriptstyle\ (f_{n})_{n}\ } $$そして$$ {\scriptstyle\ f,\ } $$それで$$ {\scriptstyle\ X_{n}\ } $$に向けて法律が収束する$$ {\scriptstyle\ X.\ } $$
我々は持っています
$$ {\begin{align} \int\left(f-f_{n}\right)_{+}d\mu\ +\ \int\left(f-f_{n}\right)_{-}d\mu &= \Vert f-f_{n}\Vert_{1} \\ \int\left(f-f_{n}\right)_{+}d\mu\ -\ \int\left(f-f_{n}\right)_{-}d\mu &= \int\left(f-f_{n}\right)d\mu \\ &= 1-1=0 \end{align}} $$
しかし
$$ { 0 \le \left(f-f_{n}\right)_{+} \le f. } $$
金
$$ {\scriptstyle\ f\ } $$
は可積分であり、仮説によれば、 $$ {\scriptstyle\ \left(f-f_{n}\right)_{+}\ } $$
0に収束する$$ {\scriptstyle\ \mu\ } $$
-pp により、支配収束定理を使用して次のように結論付けることができます。 $$ { \lim_n\int\left(f-f_{n}\right)_{+}d\mu\ =\ \lim_n\int\left(f-f_{n}\right)_{-}d\mu\ =\ 0. } $$
それに応じて、
$$ { \lim_n\Vert f-f_{n}\Vert_{1}\ =\ 0. } $$
さらに、
$$ {\scriptstyle\ \varphi\ } $$
連続的に境界がある$$ {\scriptstyle\ E,\ } $$
我々は持っています$$ {\begin{align} \left|\mathbb{E}[\varphi(X_{n})]-\mathbb{E}[\varphi(X)]\right|&= \left|\int_{E}\varphi f_{n}d\mu-\int_{E}\varphi fd\mu\right| \\ &\le \Vert \varphi\Vert_{\infty}\Vert f_{n}-f\Vert_{1}. \end{align}} $$
結果として
$$ { \lim_n\mathbb{E}[\varphi(X_{n})] =\ \mathbb{E}[\varphi(X)], } $$
これは、法則の収束を明らかに特徴づけます。
$$ {\scriptstyle\ X_{n}\ } $$
に向かって$$ {\scriptstyle\ X.\ } $$
したがって、関数が正であり、同じ積分値を持つ場合、支配収束定理に現れる誤差が一様に増加するという通常の仮定から解放されます。
一般に、次の場合にシェッフェの補題を適用します。
$$ {\scriptstyle\ E=\mathbb{R}^d\ } $$
そしてその対策はどこにあるのか$$ {\scriptstyle\ \mu\ } $$
はルベーグ測度です。補題に現れる確率変数は「密度」変数になります。例:スチューデントの法則の通常法への収束
応用例としては、スチューデントの法則を通常の法則に収束させることが挙げられます。 k ≥ 1の場合、 k自由度のスチューデントの法則の密度は次のようになります。
$$ {f_k(t)=\frac{1}{\sqrt{k\pi}}\frac{\Gamma(\frac{k+1}{2})}{\Gamma(\frac{k}{2})}\frac{1}{(1+\frac{t^2}{k})^{\frac{k+1}{2}}},} $$
ここで、 Γ はオイラーガンマ関数を表します。私たちは古典的に、あらゆるものに対して、
$$ {\scriptstyle\ t\in\mathbb{R},} $$
$$ {\lim_k\left(1+\frac{t}{k}\right)^{k}=e^{t},} $$
したがって
$$ {\lim_k\frac{1}{(1+\frac{t^2}{k})^{\frac{k+1}{2}}}=e^{-t^2/2}.} $$
私たちも持っています
$$ {\lim_{t\uparrow+\infty}\frac{\Gamma(t+\frac{1}{2})}{\Gamma(t)\sqrt{t}}=1.} $$
それで
$$ {\lim_kf_k(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\ e^{-t^2/2}.} $$
QED
持つこと
参考文献
- (内) Rick Durrett、 「確率: 理論と例」 、Thomson Brooks/Cole (カリフォルニア州ベルモント)、coll. 「Duxbury アドバンスト シリーズ」、2005 年、第 3版。 、497ページ。 、セクション II.2.a.、81 ページ。
関連ページ
控えめなバリエーション
特定の条件下では、シェッフェの補題を適用して、離散法則が密度法則に収束することを証明できます。ベクトルの場合
$$ {\scriptstyle\ x\in\mathbb{R}^d} $$
、 注記$$ {\scriptstyle\ \left\lfloor x\right\rfloor\ } $$
座標ベクトル$$ {\scriptstyle\ \left\lfloor x_{i}\right\rfloor\ } $$
、 $$ {\scriptstyle\ 1\le i\le d} $$
。それで離散シェッフェの補題—私たちは自分自身に va のシーケンスを与えます。
$$ {\scriptstyle\ (X_{n})_{n}\ } $$
の値を持つ$$ {\scriptstyle\ \mathbb{Z}^d} $$
、続編$$ {\scriptstyle\ a_{n}} $$
、の傾向があります$$ {\scriptstyle\ +\infty} $$
、厳密に正の実数、および確率密度$$ {\scriptstyle\ f} $$
の上$$ {\scriptstyle\ \mathbb{R}^d} $$
。 pp の場合$$ {\scriptstyle\ x} $$
我々は持っています$$ {\lim_{n} a_{n}^d\ \mathbb{P}\left(X_{n}=\left\lfloor a_{n}x\right\rfloor \right)=f(x),} $$
それで
$$ {\scriptstyle\ X_{n}/a_{n}} $$
～に向かって弱く収束する$$ {\scriptstyle\ f(x) dx} $$
。機能を考えてみる
$$ { f_{n}(x) = a_{n}^d\ \mathbb{P}\left(X_{n}=\left\lfloor a_{n}x\right\rfloor\right). } $$
これは、ルベーグ測度と比較した確率密度です (注記)
$$ {\scriptstyle\ \mu} $$
） の上$$ {\scriptstyle\ \mathbb{R}^d} $$
。たとえば、次の場合$$ {\scriptstyle\ U} $$
は均一の法則を持つ確率変数です。 $$ {\scriptstyle\ [0,1]^d} $$
、独立して$$ {\scriptstyle\ X_{n}} $$
、 それで$$ {\scriptstyle\ f_{n}} $$
の密度です$$ { Y_{n} = \frac{X_{n}+U}{a_{n}}. } $$
通常のシェッフェの補題は次のことを示します。
$$ {\scriptstyle\ Y_{n}} $$
に向けて法律が収束する$$ {\scriptstyle\ f} $$
。しかし、どのような規格であっても、 $$ {\scriptstyle\ \mathbb{R}^d} $$
、 $$ { \left\Vert Y_{n}-\frac{X_{n}}{a_{n}}\right\Vert\ =\ \mathcal{O}\left( \frac1{a_{n}}\right), } $$
したがって、スルツキーの定理により、
$$ {\scriptstyle\ X_{n}/a_{n}} $$
に向かっても弱く収束します$$ {\scriptstyle\ f(x) dx} $$
。この最後の実証が完了すると、離散シェッフェ補題により誤差項の増加を見つける必要がなくなります。
$$ { \left|a_{n}^d\ \mathbb{P}\left(X_{n}=\left\lfloor a_{n}x\right\rfloor \right)-f(x)\right|, } $$
のためのユニフォーム
$$ {\scriptstyle\ x\in A,} $$
それを示すより重い方法になります$$ { \lim_n\ \mathbb{P}\left(X_{n}/a_n \in A \right)\ =\ \lim_n\ \sum_{k\in(a_n\,A)\cap\mathbb{Z}^d}\ \mathbb{P}\left(X_{n}=k \right)\ =\ \int_A\ f(x)dx. } $$
通常、等式の左項 (左項は項数が無限大になる傾向のある有限和です) を極限積分に確実に収束させるには、和の項の収束速度を均一に制御する必要があります。この特定のケースでは、シェッフェの補題のおかげで、繰り込み和の項の収束は、等式の左項の収束を保証するのに十分です。
ランダムなケイリー木の 2 つのランダムな点間の距離
距離の法則
$$ {\scriptstyle\ D_n} $$
ランダムなケイリー木の 2 つのランダムな点の間が与えられます。 $$ {\scriptstyle\ 0\ \le\ k\ \le\ n-1,\ } $$
による$$ {\mathbb{P}\left(D_n=k\right)\ =\ \frac{(k+1)\times(n)_{\downarrow k+1}}{n^{k+2}}.} $$
Joyal の全単射のおかげで、これは次の応用の循環点の数の法則でもあります。
$$ {\scriptstyle\ [\![1,n]\!]} $$
で$$ {\scriptstyle\ [\![1,n]\!].\ } $$
この慎重な法則は、有名な誕生日の問題など、配分問題 (ボールと壺) にも現れます。等しい確率で一連の壺にボールを順番に割り当てると、これは確率論的な世界を考慮することになります。 $$ {\scriptstyle\ \Omega\ =\ [\![1,n]\!]^{\mathbb{N}},\ } $$
ランク$$ {\scriptstyle\ T_n(\omega)\ } $$
空ではない壺に割り当てられる最初のボールは、以下と同じ法則に従います。 $$ {\scriptstyle\ 2+D_n\ } $$
： のために$$ {\scriptstyle\ 2\ \le\ k\ \le\ n+1,\ } $$
$$ {\mathbb{P}\left(T_n=k\right)\ =\ \mathbb{P}\left(D_n=k-2\right).} $$
シェッフェの補題を使用して、次のことを示すことができます。
提案–
$$ {\scriptstyle\ D_n/\sqrt{n}} $$
法則的にはレイリーの法則に収束します。実際、厳密に正の実数xの場合、
$$ {\begin{align} \mathbb{P}\left(D_n=\left\lfloor x\sqrt{n}\right\rfloor\right) &=\ \frac{(\left\lfloor x\sqrt{n}\right\rfloor+1)\times(n)_{\downarrow \left\lfloor x\sqrt{n}\right\rfloor+1}}{n^{\left\lfloor x\sqrt{n}\right\rfloor+2}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{n}}\ \ \frac{\left\lfloor x\sqrt{n}\right\rfloor+1}{\sqrt{n}}\ \prod_{k=0}^{\left\lfloor x\sqrt{n}\right\rfloor}\,\left(1-\frac{k}{n}\right)\\ &\simeq\frac{1}{\sqrt{n}}\ \ x\ \prod_{k=0}^{\left\lfloor x\sqrt{n}\right\rfloor}\,\left(1-\frac{k}{n}\right)\\ &\simeq\frac{1}{\sqrt{n}}\ \ x\ \exp\left(-\mathcal{H}_{n,\left\lfloor x\sqrt{n}\right\rfloor}\right), \end{align}} $$
または
$$ {\mathcal{H}_{n,\ell}=-\sum_{k=0}^{\ell}\ln\left(1-\frac{k}{n}\right),} $$
そしてのために
$$ {\scriptstyle\ \ell\ } $$
十分小さい、 $$ {\mathcal{H}_{n,\ell}\simeq\ \sum_{k=0}^{\ell}\ \frac{k}{n}\simeq\ \frac{\ell^2}{2n}.} $$
より正確には、
$$ {\scriptstyle\ 0\,\le\,\ell\,\le\,n/2,\ } $$
$$ {\left|\mathcal{H}_{n,\ell}\ -\ \sum_{k=0}^{\ell}\ \frac{k}{n}\right|\ \le\ \sum_{k=0}^{\ell}\ \frac{k^2}{n^2}\ =\ \frac{\ell(\ell+1)(2\ell+1)}{6\,n^2},} $$
そしてのために
$$ {\scriptstyle\ \ell=\left\lfloor x\sqrt{n}\right\rfloor,\ } $$
出来るだけ早く$$ {\scriptstyle\ n\,\ge\,4x^2,\ } $$
$$ {\left|\mathcal{H}_{n,\ell}\ -\ \sum_{k=0}^{\ell}\ \frac{k}{n}\right|\ \simeq\ \frac{x^3}{3\,\sqrt{n}},\quad\text{et}\quad\sum_{k=0}^{\ell}\ \frac{k}{n}\ \simeq\ \frac{x^2}{2}.} $$
したがって、任意の実数xに対して、厳密に正の場合、
QED
その結果：
- サイズnのツリーの 2 点間の「典型的な」距離は、次のとおりです。 $$ {\scriptstyle\ \sqrt{n}\ } $$;
- $$ {\scriptstyle\ T_n/\sqrt{n}} $$法則的にはレイリーの法則に収束します。誕生日の問題のコンテキストでは、 n=365 を選択します。$$ {\scriptstyle\ T_n(\omega)\ } $$は、グループの少なくとも 2 人のメンバーが同じ誕生日を持つ可能性が高くなるグループのサイズとして解釈されます (サイズが徐々に大きくなるグループを想像する必要があります)。$$ {\scriptstyle\ \alpha\sqrt{n}\ } $$誕生日はすべて異なりますが、次のように推定できます。
$$ {\mathbb{P}\left(T_n>\alpha\sqrt{n}\right)=\mathbb{P}\left(T_n/\sqrt{n}\ >\alpha\right)\simeq\int_{\alpha}^{+\infty}x\ \exp\left(-x^2/2\right)dx\ =\ e^{-\alpha^2/2},} $$
- したがって、約 1 人のグループの場合は 1/2 の価値があります。 $$ {\scriptstyle\ \sqrt{365\times2\ln(2)}\ } $$(つまり 22.5) 人、または約 1/10 人のグループの場合$$ {\scriptstyle\ \sqrt{365\times2\ln(10)}\ } $$（つまり41人）この確率が 1/2 (それぞれ 1/10) より小さくなるように最初の整数を正確に計算すると、同じ結果、23 (それぞれ 41) が得られます。
反例: 単純な対称ランダム ウォーク
注意しましょう
$$ {\scriptstyle\ S_{n}} $$
時間対称単純ランダムウォークの位置$$ {\scriptstyle\ n} $$
。アブラハム・ドゥ・モアブルは次のことを示しました。 $$ {\scriptstyle\ S_{n}/\sqrt n} $$
に向けて法律が収束する$$ {\scriptstyle\ e^{-x^2/2}/\sqrt{2\pi}\ dx.\ } $$
そうすることで、アブラハム・ドゥ・モアブルは 3 つの「初」を達成しました。- 通常法の初登場、
- 中心極限定理の最初のバージョン、
- スターリング公式の発見と最初の使用。
残念ながら、離散シェフェ補題を直接適用して De Moivre の結果を証明することはできません。確かに ：
$$ {\limsup_{n} \sqrt{n}\ \mathbb{P}\left(S_{n}=\left\lfloor \sqrt{n}\ x\right\rfloor \right)=2e^{-x^2/2}/\sqrt{2\pi},} $$
そして
$$ {\liminf_{n} \sqrt{n}\ \mathbb{P}\left(S_{n}=\left\lfloor \sqrt{n}\ x\right\rfloor \right)=0.} $$
として
$$ {\scriptstyle\ S_{n}} $$
と同じパリティです$$ {\scriptstyle\ n,} $$
続編$$ {\scriptstyle\ \mathbb{P}\left(S_{n}=\left\lfloor \sqrt{n}x\right\rfloor \right)\ } $$
無限のインデックスに対して値 0 をとります。 $$ {\scriptstyle\ \left\lfloor \sqrt{n}\ x\right\rfloor} $$
そして$$ {\scriptstyle\ n\ } $$
同じパリティを持たない: とすぐに$$ {\scriptstyle\ x\neq 0,} $$
それを手動で確認できます$$ {\scriptstyle\ \left\lfloor \sqrt{2n}\ x\right\rfloor} $$
は、無限大のインデックスに対して奇数になりますが (無限大のインデックスに対しても)、同様の観察が可能です。 $$ {\scriptstyle\ \left\lfloor \sqrt{2n+1}\ x\right\rfloor.} $$
一方、次のようなときは、 $$ {\scriptstyle\ \left\lfloor \sqrt{n}\ x\right\rfloor} $$
そして$$ {\scriptstyle\ n\ } $$
同じパリティを持っている場合、次のようになります。 $$ {\mathbb{P}\left(S_{n}=\left\lfloor \sqrt{n}x\right\rfloor \right)\ =\ {n\choose \left(n+\left\lfloor \sqrt{n}x\right\rfloor\right)/2}\ 2^{-n}.} $$
スターリングの公式は、発表された限界を導き出します。
$$ {\scriptstyle\ 2\,e^{-x^2/2}/\sqrt{2\pi}.\ } $$
ただし、離散シェッフェ補題の証明をこの特定のケースに適用することはできます。次のように設定するだけで十分です。それで
$$ {\scriptstyle\ Y_{n}\ } $$
密度のために持っています$$ { \frac{\sqrt{n}}2\ \mathbb{P}\left(S_{n}=1_{n\text{ impair}}+2\left\lfloor \frac{\sqrt{n}x}2\right\rfloor \right)\ \simeq\ \,e^{-x^2/2}/\sqrt{2\pi}, } $$
常にスターリング公式を経由します。それで
$$ {\scriptstyle\ Y_{n}\ } $$
シェッフェの補題により、法は通常法に収束します。しかし、上記のように、 $$ { \left\Vert Y_{n}-\frac{S_{n}}{\sqrt{n}}\right\Vert\ =\ \mathcal{O}\left( \frac1{\sqrt{n}}\right). } $$
ド モアブルの定理は、次の法則の収束から生じます。
$$ {\scriptstyle\ Y_{n},\ } $$
そしてスルツキーの定理。