共移動距離 – 定義

標準的なビッグバン モデルに基づいて宇宙の形状を考えることは、共移動座標を使用することで簡単になります。

特殊相対性理論は、いかなる慣性座標系も同等である、つまり、時空座標に「好ましい」選択はないと言っていますが、これは「点に向かう限界内で有効な、局所的な理論」にすぎません。

一般相対性理論も局所理論ですが、特殊相対性理論にはない重力をモデル化しているため、幾何学と密度を結び付けるために、正式にはリーマン多様体と呼ばれる空間の局所特性を制約するために使用できます。多様性自体はグローバルです。

一般相対性理論の文脈では、ワイルの公準の仮定は、時空の好ましい基準系を定義でき、物理的な意味を持つことができるということです。この概念の実装を可能にする最も一般的な概念は、共移動座標の概念です。この概念では、空間基準座標系が銀河 (またはかなりゆっくりと移動する大きな物質の塊) の平均 (空間) 位置に関連付けられます。

この座標の選択では、時間と宇宙の膨張の両方を無視して、空間の形状 (より正式には、一定の宇宙論的時間における空間超曲面の形状) に焦点を当てることができます。

移動する座標内の空間は (平均して)静的です。これは宇宙が膨張しているという事実と完全に一致しています。座標の選択は、番号ラベルの選択にすぎません。ビッグバンの標準モデルによれば、これらのラベルを貼り付けるための特定の選択肢が存在するため、正式な計算と宇宙を静的物体として考える場合の両方において非常に実用的です。実際の展開に戻るには、スケール係数を覚えておく必要があります。

したがって、移動する座標内の固定空間点にいる観察者にとって、その局所的な時間測定と同一である宇宙論的時間も存在します。

したがって、共移動距離は、宇宙論的時間の同じ点における、空間内の 2 点間の共移動座標での距離です。

$$ {\chi = \int_{t}^{t_0} { c \; \mbox{d} t’ \over a(t’)}} $$

ここで、 a ( t ‘) はスケール係数です。宇宙論的な時間はグローバルな意味を持ちますが、時間と同一ではないため、ここでは同時のような単語は避けるべきです。

同等の言葉

• 書籍によっては、移動距離に記号χ を使用しているものもあります。

• Weinberg (1972) は、共移動距離に対して固有(リンク)距離という用語を使用しています。

移動距離は本当に存在するのでしょうか？

ビッグバンの標準モデルの構成要素として共移動距離と宇宙時間が存在することは確かである。

しかし、宇宙論的時間は、固定された空間位置にいる観測者にとって局所的に測定された時間に等しいが、共移動距離は、一般に、よりゆっくりと、または光の速度と同じ速度で移動する粒子が物理的に経験する距離と等しくない。

共移動距離を現在の宇宙論的時間 (宇宙年齢) で割って、その結果を「速度」と呼ぶと、粒子の地平線付近または地平線の向こう側にある「銀河」の「速度」は、粒子の地平線の速度よりも大きくなる可能性があります。ライト。

これは、 「空間は光の速度より速く膨張する」という曖昧な表現のパラドックスです。この文をより明確に書き直すと次のようになります。

地平線の近くまたは地平線を超えた「銀河」の場合、その「速度」は、銀河と観測者との間の移動距離を現在の宇宙論的時間で割ったものとして定義され、光の速度よりも大きくなる可能性があります。

この文は正しいです。議論の余地があるのは、哲学的解釈です。

厳密に経験的な観点（箱の中に隠された物体は存在しないという意味で、バートランド・ラッセル参照）は、多くの問題を引き起こします。

• 地平線に向かって遠くにある「銀河」は、はるか昔に見られます。当時、それは少量のヘリウムが混合された単なる水素の山で、周囲よりもわずかに密度が高く、星がすでに形成されている可能性はほとんどありません。したがって、この銀河を観測することは経験的に不可能です。

• さらに、地平線の彼方にある「銀河」は未来（例えば50億年後）にしか観測できないが、これは依然として厳密な経験的観点と矛盾している。

• 銀河と観測者の間の光子の経路をたどることによって定義される「銀河」までの距離を考えると、地平線の向こう側の「銀河」についてはこれを行うことはできません。経路が観測者に到達しないためです。地平線の定義です。一方、地平線の内側の「銀河」の場合、地平線に非常に近いにもかかわらず、光子の移動に従う距離の同じ定義を使用できますが、このようにして得られる速度は常に次のようになります。光の速度よりも遅い。

超光速のパラドックスと同様の理由から、共移動距離を物理的な意味を持たない純粋に理論的な構造とみなす人もいます。しかし、この見解を保持しながら、彼らは、共動座標がモデルの基本的な部分であるため、ビッグバンの標準モデルは無意味であると主張します。

宇宙論におけるその他の有用な距離

• 光子の移動に続く距離 – それは光の速度に宇宙論的時間の間隔を掛けたものです。
  $$ {\int c\;dt} $$
  、一方の移動距離は
  $$ {\int c\; {dt \over a(t)}} $$
  ここで、 a ( t ) はスケール係数です。
• d _L輝度距離
• d _pm固有運動距離。これは、1ラジアンの角度に対応する共移動座標における長さです。
  • ( James Peebles 1993 (リンク)により角サイズ距離と呼ばれることもあります)
  • 座標距離と呼ばれることもあります
  • d _{pm は}角直径距離と呼ばれることもあります
• d_角直径距離

最後の 3 つは次のようにリンクされています。

d _a = d _pm / (1 + z ) = d _L /(1 + z ) ²

ここで、 z は赤方偏移です。

曲率がゼロである場合にのみ、自己運動距離と共動距離は同一になります、つまりd _pm = χです。

負の曲率の場合、

$$ {d_\mathrm{pm} = R_C \sinh {\chi \over R_C}} $$

、

一方、正の曲率の場合、

$$ {d_\mathrm{pm} = R_C \sin {\chi \over R_C}} $$

、

ここで、 R _{C は}曲率半径 (絶対値) です。

物質密度パラメータΩ _m 、宇宙定数Ω _Λ 、およびクインテッセンス パラメータwの任意の値について、観測者のd _{p を}赤方偏移zまで数値積分するには、次のようになります。

$$ {d_p \equiv \chi(z) = {c \over H_0} \int^{a’=1}_{a’=1/(1+z)} {\mathrm{d}a \over a \sqrt{ \Omega_m /a – (\Omega_m + \Omega_\Lambda -1) + \Omega_\Lambda a^{-(1+3w)} } },} $$

ここで、 cは光の速度、 _{H0 は}ハッブル定数です。

sin 関数と sinh 関数を使用すると、 d _pから固有運動距離d _pmを求めることができます。

小さなスケールでの有用な距離 – 銀河または銀河団

光速または光速で移動する粒子が経験する通常の距離は、共移動距離に研究対象の宇宙論的時代におけるスケール係数の値を掛けたものです。

他にも次のような名前が付けられています。

• 物理的距離– しかし、この用語の弱点は、移動距離が通常の距離よりも物理的ではないことを示唆していることです。
• 適切な距離– これは多くの混乱を招く可能性がありますが (上記を参照)、研究対象のオブジェクトに対応する時間に計算が行われる場合、この用語は正しいです。